Use a Regra da Cadeia para achar
e
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede para encontrar
e
.
Informações relevantes que vamos usar: é dada em termos de
, e
são dadas em termos de
. Portanto precisamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
Informações relevantes que vamos usar:
Passo 2
Primeiro calculemos as derivadas parciais de
em relação a
e a
(mantendo
como variáveis independentes aqui). Essas são fáceis porque
é um monômio em
e
.
A regra de derivação padrão para potências diz que, para
,
. Usando isso e tratando
como constante quando diferenciamos em relação a
, obtemos
De forma análoga, tratando
como constante quando diferenciamos em relação a
,
Comentário pedagógico: essas duas derivadas dizem como
muda se eu variar só
(mantendo
fixo) ou só
(mantendo
fixo).
Passo 3
Agora calculemos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. São derivadas simples de produtos/ funções trigonométricas:
Derivando
:
Derivando
(a notação
é o seno em português):
Passo 4
Agora a Regra da Cadeia para
nas derivadas parciais diz:
Explicação curta: cada termo
representa a contribuição para a variação de
causada pela variação de
quando
muda; o outro termo é a contribuição via
.
Passo 5
Calculemos
substituindo as derivadas encontradas:
Agora substituímos
e
. Primeiro calcule componentes:
Substituindo:
Agora simplificamos os fatores de
e as potências trigonométricas:
o primeiro termo é
o primeiro termo é
o segundo termo é
Somando-os:
Passo 6
Agora calculemos
. Usando a fórmula da Passo 4 e as derivadas:
Obs.: aqui usei
no sentido da derivada de
; é o mesmo que
quando necessário. Substituindo
e
e simplificando:
Calcule termo a termo. Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta: