Use a Regra da Cadeia para achar \partial z / \partial s e \partial z / \partial t.
z=x^{2} y^{3},
x=s \cos t, y=s \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá as funções
z = x^{2} y^{3}, \qquad x = s \cos t, \qquad y = s \operatorname{sen} t
e pede para encontrar \dfrac{\partial z}{\partial s} e \dfrac{\partial z}{\partial t}.
Informações relevantes que vamos usar: z é dada em termos de x,y, e x,y são dadas em termos de s,t. Portanto precisamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas parciais de z em relação a x e a y (mantendo x,y como variáveis independentes aqui). Essas são fáceis porque z é um monômio em x e y.
A regra de derivação padrão para potências diz que, para x^{n}, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Usando isso e tratando y como constante quando diferenciamos em relação a x, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=2x\,y^{3}.
De forma análoga, tratando x como constante quando diferenciamos em relação a y,
\frac{\partial z}{\partial y}=3x^{2}\,y^{2}.
Comentário pedagógico: essas duas derivadas dizem como z muda se eu variar só x (mantendo y fixo) ou só y (mantendo x fixo).

Passo 3

Agora calculemos as derivadas parciais de x e y em relação a s e t. São derivadas simples de produtos/ funções trigonométricas:
Derivando x(s,t)=s\cos t:
\frac{\partial x}{\partial s}=\cos t,\qquad \frac{\partial x}{\partial t}=-s\sin t.
Derivando y(s,t)=s\operatorname{sen} t (a notação \operatorname{sen} é o seno em português):
\frac{\partial y}{\partial s}=\operatorname{sen} t,\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=s\cos t.

Passo 4

Agora a Regra da Cadeia para z(x(s,t),y(s,t)) nas derivadas parciais diz:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicação curta: cada termo \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial s} representa a contribuição para a variação de z causada pela variação de x quando s muda; o outro termo é a contribuição via y.

Passo 5

Calculemos \dfrac{\partial z}{\partial s} substituindo as derivadas encontradas:
\frac{\partial z}{\partial s} = (2x y^{3})(\cos t) + (3x^{2} y^{2})(\operatorname{sen} t).
Agora substituímos x=s\cos t e y=s\operatorname{sen} t. Primeiro calcule componentes:
y^{3}=(s\operatorname{sen} t)^{3}=s^{3}\operatorname{sen}^{3}t, \qquad x^{2}=(s\cos t)^{2}=s^{2}\cos^{2}t, \qquad y^{2}=s^{2}\operatorname{sen}^{2}t.
Substituindo:
\frac{\partial z}{\partial s} =2\,(s\cos t)\,(s^{3}\operatorname{sen}^{3}t)\cos t +3\,(s^{2}\cos^{2}t)\,(s^{2}\operatorname{sen}^{2}t)\operatorname{sen} t.
Agora simplificamos os fatores de s e as potências trigonométricas:
o primeiro termo é
2\,s^{4}\cos^{2}t\,\operatorname{sen}^{3}t,
o segundo termo é
3\,s^{4}\cos^{2}t\,\operatorname{sen}^{3}t.
Somando-os:
\frac{\partial z}{\partial s}=(2+3)\,s^{4}\cos^{2}t\,\operatorname{sen}^{3}t =5\,s^{4}\cos^{2}t\,\operatorname{sen}^{3}t.

Passo 6

Agora calculemos \dfrac{\partial z}{\partial t}. Usando a fórmula da Passo 4 e as derivadas:
\frac{\partial z}{\partial t} = (2x y^{3})(-s\sin t) + (3x^{2} y^{2})(s\cos t).
Obs.: aqui usei \sin t no sentido da derivada de \cos t; é o mesmo que \operatorname{sen} t quando necessário. Substituindo x=s\cos t e y=s\operatorname{sen} t e simplificando:
Calcule termo a termo. Primeiro termo:
(2x y^{3})(-s\sin t) = -2s\,(s\cos t)\,(s^{3}\operatorname{sen}^{3}t)\sin t = -2\,s^{5}\cos t\,\operatorname{sen}^{4}t.
Segundo termo:
(3x^{2} y^{2})(s\cos t) = 3s\,(s^{2}\cos^{2}t)\,(s^{2}\operatorname{sen}^{2}t)\cos t = 3\,s^{5}\cos^{3}t\,\operatorname{sen}^{2}t.
Somando:
\frac{\partial z}{\partial t} = -2\,s^{5}\cos t\,\operatorname{sen}^{4}t + 3\,s^{5}\cos^{3}t\,\operatorname{sen}^{2}t.
Podemos fatorar s^{5}\cos t\,\operatorname{sen}^{2}t se quisermos uma forma mais compacta:
\frac{\partial z}{\partial t} = s^{5}\cos t\,\operatorname{sen}^{2}t\bigl(-2\operatorname{sen}^{2}t+3\cos^{2}t\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=5\,s^{4}\cos^{2}t\,\operatorname{sen}^{3}t
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}= -2\,s^{5}\cos t\,\operatorname{sen}^{4}t + 3\,s^{5}\cos^{3}t\,\operatorname{sen}^{2}t

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