Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
w=ln raizx^2+y^2+z^2, x=sen t, y=cos t, z=tg t

Passo 1

O enunciado nos dá a função composta w = lnraizx^2 + y^2 + z^2 com as parametrizações x=sin t, y=cos t e . O objetivo é usar a Regra da Cadeia para encontrar z=tg t. Vamos precisar de derivadas parciais de dfracdwdt em relação a w e das funções trigonométricas.

Passo 2

Para simplificar o cálculo de derivadas parciais, definimos u = x^2 + y^2 + z^2. Assim,
w = lnraizu = tfrac12ln(u)

Passo 3

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para derivadas parciais:
partial wpartial x = 12cdot1ucdot 2x = xu, partial wpartial y = yu, partial wpartial z = zu

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas de x,y,z em função de t:
dxdt = cos t, dydt = -sin t, dzdt = sec^2 t

Passo 5

A Regra da Cadeia diz que
dwdt = partial wpartial xdxdt + partial wpartial ydydt + partial wpartial zdzdt

Passo 6

Substituindo x=sin t, y=cos t, , suas derivadas e , temos:

Resposta

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