Seja f(x, y)=e^x^2-y.
Determine a imagem de f.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a função $ f(x, y) = e{x{2} - y} $. Nosso objetivo é determinar a imagem dessa função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir quando $ x $ e $ y $ variam sobre seus domínios. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de exponenciais e propriedades das funções.

Passo 2

Primeiro, observamos a estrutura da função $ f(x, y) = e{x{2} - y} $. A base $ e $ é um número positivo aproximadamente igual a 2,718, e a função exponencial $ e^{z} $ é sempre positiva para qualquer número real $ z $. Portanto, sabemos que $ f(x, y) > 0 $ para todos os valores de $ x $ e $ y $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o expoente $ x^{2} - y $. Sabemos que $ x^{2} $ é sempre não negativo, já que qualquer número real ao quadrado é positivo ou zero. O termo $ y $ pode ser qualquer número real, positivo, negativo ou zero. Isso significa que o expoente $ x^{2} - y $ pode assumir qualquer valor real, desde $ -\infty $ até $ +\infty $.

Passo 4

Como o expoente $ x^{2} - y $ pode ser qualquer número real, a expressão $ e{x{2} - y} $ pode variar desde $ e^{-\infty} = 0 $ (excluindo zero, pois a exponencial nunca atinge exatamente zero) até $ e^{+\infty} = +\infty $. Portanto, a função $ f(x, y) $ pode assumir qualquer valor positivo real.

Resposta

A imagem de $ f $ é o conjunto dos números reais positivos, ou seja, $ (0, +\infty) $.

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