Use a serie geométrica para encontrar a serie de potências das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em série de potências usando a série geométrica. O conteúdo principal é séries de potências e vamos precisar usar a série geométrica e derivação para chegar ao resultado.
Passo 2
Começamos lembrando a série geométrica: para
vale
Passo 3
Derivando em relação a
obtemos a série para
. Como
derivamos membro a membro:
Reindexando e isolando
dá
Passo 4
Derivamos uma segunda vez para chegar em
. Sabendo que
derivamos a série de
termo a termo:
Assim,
Passo 5
Basta agora voltar para
. A expansão final para
é válida para
e coincide com a série obtida.
Aplicamos na expressão obtida acima para escrever a série de potências desejada.
Aplicamos