Use a serie geométrica para encontrar a serie de potências das seguintes funções
1(1+x)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(x)=1(1+x)^3 em série de potências usando a série geométrica. O conteúdo principal é séries de potências e vamos precisar usar a série geométrica e derivação para chegar ao resultado.

Passo 2

Começamos lembrando a série geométrica: para |u|<1 vale
11+u=sumn=0^infty(-1)^n,u^n

Passo 3

Derivando em relação a u obtemos a série para 1(1+u)^2. Como
ddul((1+u)^-1r)=-,(1+u)^-2,
derivamos membro a membro:
sumn=0^infty(-1)^n n,u^n-1 = -sumn=0^infty(-1)^n (n+1),u^n
Reindexando e isolando (1+u)^-2
1(1+u)^2=sumn=0^infty(-1)^n (n+1),u^n

Passo 4

Derivamos uma segunda vez para chegar em 1(1+u)^3. Sabendo que
ddul((1+u)^-2r)=-2,(1+u)^-3,
derivamos a série de (1+u)^-2 termo a termo:
sumn=0^infty(-1)^n (n+1)n,u^n-1 = -2sumn=0^infty(-1)^n (n+1)(n+2)2,u^n
Assim,
1(1+u)^3=sumn=0^infty(-1)^n (n+1)(n+2)2,u^n

Passo 5

Basta agora voltar para u=x. A expansão final para 1(1+x)^3 é válida para |x|<1 e coincide com a série obtida.
Aplicamos u=x na expressão obtida acima para escrever a série de potências desejada.

Resposta

1(1+x)^3=sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(n+2)2,x^n, |x|<1

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