Use a regra da cadeia para calcular d/z dt : z = x^2 + x*y + y^2, x = sen(t) e y = e^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função , onde e também dependem de . O que precisamos fazer é calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra e calcular as derivadas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Quando uma função depende de outras funções que, por sua vez, dependem de uma terceira variável, a derivada total pode ser encontrada somando as derivadas parciais multiplicadas pelas derivadas dessas funções intermediárias. No nosso caso:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Vamos substituir essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir e na expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:
Ou, simplificando um pouco:

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