Determine o gradiente da função f no ponto P. Na sequência, determine a taxa de variação de f em P, na direção do vetor u f(x, y) = e^x seny, ponto (0, pi/3), u = 1/2 * <raiz(3), -1>

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que envolve encontrar o gradiente de uma função em um ponto específico e, depois, calcular a taxa de variação dessa função nessa direção. A função dada é , o ponto considerado é e o vetor de direção é . Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente de uma função e como calcular a taxa de variação na direção de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior ascensão da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e .
Para encontrar as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:
Agora, substituímos o ponto na expressão do gradiente:
Para :
Para :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de variação de no ponto na direção do vetor .
A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário na direção desejada.
Primeiro, confirmamos que é um vetor unitário:
Então, a taxa de variação direcional é:
Calculando o produto escalar:

Resposta

O gradiente da função no ponto é e a taxa de variação de em na direção do vetor é .

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