Use a regra da cadeia para calcular d/z dt : z = raiz(1 + x^2 + y^2), x = ln(t) e y = cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada de em relação a , ou seja, . A gente tem que usar a regra da cadeia aqui. Primeiro, vamos ver o que temos:
  • (logaritmo natural de )
Então, vamos precisar saber um pouco sobre derivadas de funções compostas e como aplicar a regra da cadeia. Vamos resolver passo a passo, sem pular nada!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que depende de e , que por sua vez dependem de . Para achar , vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos achar e .
Começando com :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
  • então:
  • então:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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