Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de $ k $ em $ x = 8 $ usando a regra da cadeia. A função $ k(x) $ é definida como $ k(x) = h(f(x), g(x)) $, onde $ h $ é uma função de duas variáveis, $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ e $ g(x) = \sqrt{x+1} $. A regra da cadeia é uma ferramenta fundamental em cálculo para derivar funções compostas. Vamos precisar também da derivada parcial de $ h $ no ponto específico dado, que é $ \nabla h(2,3) = (2, -1) $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ f(8) $ e $ g(8) $. Isso é importante porque precisamos saber em que ponto a função $ h $ está sendo avaliada.
Então, $ h(f(8), g(8)) = h(2, 3) $.
Passo 3
Agora, sabemos que $ \nabla h(2,3) = (2, -1) $. Isso representa as derivadas parciais de $ h $ em relação a suas duas variáveis no ponto (2,3). Ou seja,
Essas derivadas parciais serão usadas na aplicação da regra da cadeia.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de $ f $ e $ g $ em $ x = 8 $.
Para $ f(x) = \sqrt[3]{x} $:
Para $ g(x) = \sqrt{x+1} $:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
$ k^{\prime}(8) = 0 $