Use regra da cadeia para calcular k^prime(8)
k(x)=h(f(x), g(x))
nabla h(2,3)=(2,-1)
f(x)=raiz[3]x
g(x)=raizx+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de $ k $ em $ x = 8 $ usando a regra da cadeia. A função $ k(x) $ é definida como $ k(x) = h(f(x), g(x)) $, onde $ h $ é uma função de duas variáveis, $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ e $ g(x) = \sqrt{x+1} $. A regra da cadeia é uma ferramenta fundamental em cálculo para derivar funções compostas. Vamos precisar também da derivada parcial de $ h $ no ponto específico dado, que é $ \nabla h(2,3) = (2, -1) $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f(8) $ e $ g(8) $. Isso é importante porque precisamos saber em que ponto a função $ h $ está sendo avaliada.
f(8)
g(8)
Então, $ h(f(8), g(8)) = h(2, 3) $.

Passo 3

Agora, sabemos que $ \nabla h(2,3) = (2, -1) $. Isso representa as derivadas parciais de $ h $ em relação a suas duas variáveis no ponto (2,3). Ou seja,
nabla h(2,3) = (2, -1)
Essas derivadas parciais serão usadas na aplicação da regra da cadeia.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de $ f $ e $ g $ em $ x = 8 $.
Para $ f(x) = \sqrt[3]{x} $:
f
g
Para $ g(x) = \sqrt{x+1} $:
x = 8
f(x) = raiz[3]x

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis:
k'(x) = partial hpartial u cdot f'(x) + partial hpartial v cdot g'(x)
Substituindo os valores que já calculamos:
k'(8) = 2 cdot 112 + (-1) cdot 16 = 212 - 16 = 16 - 16 = 0

Resposta

$ k^{\prime}(8) = 0 $

Exercícios relacionados