Use regra da cadeia para calcular nabla k(0,0)
k(x)=h(f(x, y), g(x, y))
h(s, t)=1s-t
f(0,0)=3
nabla f(0,0)=(2,6)
g(0,0)=1
nabla g(0,0)=(4,-2)

Passo 1

Temos a função composta k(x,y)=h(f(x,y),g(x,y)) com h(s,t)=1s-t. Nos pontos dados, f(0,0)=3, nabla f(0,0)=(2,6), g(0,0)=1 e nabla g(0,0)=(4,-2). Vamos usar a regra da cadeia para achar nabla k(0,0).

Passo 2

Pela regra da cadeia para função de duas variáveis compostas, vale
nabla k(x,y)=hsl(f(x,y),g(x,y)r),nabla f(x,y)+htl(f(x,y),g(x,y)r),nabla g(x,y)

Passo 3

Derivando h(s,t)=dfrac1s-t em relação a s e t temos
hs(s,t)=partialpartial sl((s-t)^-1r)=1(s-t)^2, ht(s,t)=partialpartial tl((s-t)^-1r)=-1(s-t)^2

Passo 4

No ponto (s,t)=(f(0,0),g(0,0))=(3,1) temos s-t=2, logo
hs(3,1)=12^2=14, ht(3,1)=-12^2=-14

Passo 5

Finalmente, aplicando no gradiente:
nabla k(0,0)=14,(2,6)-14,(4,-2)=l(tfrac12,tfrac64r)-l(1,-tfrac12r)=l(-tfrac12,2r)

Resposta

(-12,2)

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