Use regra da cadeia para calcular k^prime(0)
k(x)=h(f(x), g(x))
h(s, t)=raizs^2+t^2
f(0)=4
f^prime(0)=10
g(0)=3
g^prime(0)=5

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve a Regra da Cadeia. O problema nos pede para calcular a derivada de uma função composta $ k(x) = h(f(x), g(x)) $ no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis e utilizar as informações fornecidas sobre as funções $ f $ e $ g $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ h(s, t) $. Ela está definida como:
h(s, t)
Esta função calcula a distância euclidiana no plano a partir das coordenadas $ s $ e $ t $.

Passo 3

A função $ k(x) $ é uma composição de $ h $ com $ f(x) $ e $ g(x) $, ou seja:
k(x)
Queremos encontrar a derivada $ k’(0) $, que representa a taxa de variação de $ k $ quando $ x $ muda em torno de 0.

Passo 4

Para encontrar $ k’(x) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis. A derivada de $ h(s, t) $ em relação a $ x $ é dada por:
k'(x)
Onde:
  • $ \frac{\partial h}{\partial s} $ e $ \frac{\partial h}{\partial t} $ são as derivadas parciais de $ h $ em relação a $ s $ e $ t $, respectivamente.
  • $ \frac{df}{dx} $ e $ \frac{dg}{dx} $ são as derivadas das funções $ f $ e $ g $ em relação a $ x $.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de $ h(s, t) $:
h(s, t)
partial hpartial s = sraizs^2 + t^2

Passo 6

Agora, substituímos $ s = f(x) $ e $ t = g(x) $ na expressão das derivadas parciais:
s = f(x)
t = g(x)

Passo 7

Substituindo tudo na fórmula da derivada $ k’(x) $:
k'(x)

Passo 8

Agora, vamos calcular $ k’(0) $. Primeiro, precisamos dos valores das funções e suas derivadas no ponto $ x = 0 $:
k'(0)
x = 0

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão de $ k’(x) $:
k'(x)

Passo 10

Calculando os termos dentro da raiz:
raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Então,
k'(0) = 45 cdot 10 + 35 cdot 5

Passo 11

Realizando as multiplicações:
k'(0) = (45 times 10) + (35 times 5) = 8 + 3 = 11

Resposta

O valor de $ k^{\prime}(0) $ é 11.

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