Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve a Regra da Cadeia. O problema nos pede para calcular a derivada de uma função composta $ k(x) = h(f(x), g(x)) $ no ponto $ x = 0 $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis e utilizar as informações fornecidas sobre as funções $ f $ e $ g $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ h(s, t) $. Ela está definida como:
Esta função calcula a distância euclidiana no plano a partir das coordenadas $ s $ e $ t $.
Passo 3
A função $ k(x) $ é uma composição de $ h $ com $ f(x) $ e $ g(x) $, ou seja:
Queremos encontrar a derivada $ k’(0) $, que representa a taxa de variação de $ k $ quando $ x $ muda em torno de 0.
Passo 4
Para encontrar $ k’(x) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis. A derivada de $ h(s, t) $ em relação a $ x $ é dada por:
Onde:
- $ \frac{\partial h}{\partial s} $ e $ \frac{\partial h}{\partial t} $ são as derivadas parciais de $ h $ em relação a $ s $ e $ t $, respectivamente.
- $ \frac{df}{dx} $ e $ \frac{dg}{dx} $ são as derivadas das funções $ f $ e $ g $ em relação a $ x $.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de $ h(s, t) $:
Passo 6
Agora, substituímos $ s = f(x) $ e $ t = g(x) $ na expressão das derivadas parciais:
Passo 7
Substituindo tudo na fórmula da derivada $ k’(x) $:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ k’(0) $. Primeiro, precisamos dos valores das funções e suas derivadas no ponto $ x = 0 $:
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão de $ k’(x) $:
Passo 10
Calculando os termos dentro da raiz:
Então,
Passo 11
Realizando as multiplicações:
Resposta
O valor de $ k^{\prime}(0) $ é 11.