Use regra da cadeia para calcular \nabla f(0,3)
g(x)=f(u(x), v(x))
g^{\prime}(0)=10
\frac{\partial f}{\partial v}(0,3)=\frac{\partial f}{\partial u}(0,3)
u(x)=2 \operatorname{sen}(x)
v(x)=3 e^{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o gradiente \nabla f(0,3), ou seja, os parciais \frac{\partial f}{\partial u}(0,3) e \frac{\partial f}{\partial v}(0,3).
Informações dadas:
g(x)=f(u(x),v(x))
g'(0)=10
\frac{\partial f}{\partial v}(0,3)=\frac{\partial f}{\partial u}(0,3)
u(x)=2\operatorname{sen}(x)
v(x)=3e^{x}
Observação: do enunciado temos que, ao avaliar em x=0, os argumentos de f são (u(0),v(0))=(0,3). Não vamos resolver ainda, só listar as informações relevantes.

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia que vamos usar (aula rapidinha): se g(x)=f(u(x),v(x)) e f tem derivadas parciais, então a derivada de g em relação a x é dada por
g'(x)=\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(u(x),v(x)\bigr)\,u'(x)\;+\;\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(u(x),v(x)\bigr)\,v'(x).
Aqui cada termo significa:
  • \frac{\partial f}{\partial u}\bigl(u(x),v(x)\bigr) é a taxa de variação de f quando seu primeiro argumento muda, avaliada nos pontos (u(x),v(x)).
  • u'(x) é a taxa de variação de u em relação a x.
  • O segundo termo é análogo para v.
Essa fórmula é a versão de regra da cadeia para composição de uma função de duas variáveis com funções escalares.

Passo 3

Vamos calcular os valores de u(0), v(0), u'(x) e v'(x), e avaliá-los em x=0.
Calcular u(0) e v(0):
u(0)=2\operatorname{sen}(0)=2\cdot 0=0,
v(0)=3e^{0}=3\cdot 1=3.
Derivadas u'(x) e v'(x):
u'(x)=2\cos(x)\quad\Rightarrow\quad u'(0)=2\cos(0)=2\cdot 1=2,
v'(x)=3e^{x}\quad\Rightarrow\quad v'(0)=3e^{0}=3.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia em x=0. Usando os resultados acima:
g'(0)=\frac{\partial f}{\partial u}(0,3)\cdot u'(0)\;+\;\frac{\partial f}{\partial v}(0,3)\cdot v'(0).
Substituindo u'(0)=2 e v'(0)=3:
g'(0)=2\frac{\partial f}{\partial u}(0,3)\;+\;3\frac{\partial f}{\partial v}(0,3).

Passo 5

Usamos a informação extra do enunciado que diz que as duas derivadas parciais em (0,3) são iguais:
\frac{\partial f}{\partial v}(0,3)=\frac{\partial f}{\partial u}(0,3).
Chamo esse valor comum de a:
\frac{\partial f}{\partial u}(0,3)=a,\qquad \frac{\partial f}{\partial v}(0,3)=a.
Substituindo em g'(0):
g'(0)=2a+3a=5a.
Mas o enunciado nos deu g'(0)=10. Logo
5a=10 \quad\Rightarrow\quad a=2.

Passo 6

Concluímos que os parciais em (0,3) são ambos iguais a 2. Portanto o gradiente é
\boxed{\nabla f(0,3)=(2,2)}. Um jeito rápido de lembrar na prova: formar \(g'(0)\) pela cadeia, avaliar \(u(0),v(0),u'(0),v'(0)\), usar relações dadas entre parciais, e resolver a equação numérica — bem direto.

Resposta

\nabla f(0,3)=(2,2)

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