Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
O que o problema pede: calcular o gradiente
, ou seja, os parciais
e
.
Informações dadas:
Observação: do enunciado temos que, ao avaliar em
, os argumentos de
são
. Não vamos resolver ainda, só listar as informações relevantes.
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia que vamos usar (aula rapidinha): se
e
tem derivadas parciais, então a derivada de
em relação a
é dada por
Aqui cada termo significa:
-
é a taxa de variação de quando seu primeiro argumento muda, avaliada nos pontos . -
é a taxa de variação de em relação a . - O segundo termo é análogo para
.
Essa fórmula é a versão de regra da cadeia para composição de uma função de duas variáveis com funções escalares.
Passo 3
Vamos calcular os valores de
,
,
e
, e avaliá-los em
.
Calcular
e
:
Derivadas
e
:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia em
. Usando os resultados acima:
Substituindo
e
:
Passo 5
Usamos a informação extra do enunciado que diz que as duas derivadas parciais em
são iguais:
Chamo esse valor comum de
:
Substituindo em
:
Mas o enunciado nos deu
. Logo
Passo 6
Concluímos que os parciais em
são ambos iguais a
. Portanto o gradiente é