Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
Dado:
(isto é, as derivadas parciais de
em
formam o vetor
)
Dado:
Pedido: calcular
.
Passo 2
Ideia da regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis (explicação didática).
Quando você tem , a variação de
em
vem da variação de
em suas duas entradas e da forma como
e
variam com
. A fórmula prática é
Quando você tem
Aqui:
-
é o vetor . No enunciado esse vetor em é . - O símbolo
é o produto escalar (dot product). Se e , então .
Portanto, para calcularvamos avaliar o gradiente de no ponto e fazer o produto escalar com os derivadas e .
Passo 3
Verificar o ponto onde devemos avaliar o gradiente.
Calculo e
:
Calculo
Observação importante: peguei esses valores diretamente das expressões de
e
dadas no enunciado. Como
e
, o ponto
é
, exatamente o ponto onde conhecemos
. Então podemos usar
.
Passo 4
Calcular
e
(regra do poder e da cadeia simples).
Regra do poder: se com
constante, então
.
Aplicando a :
Regra do poder: se
Aplicando a
Aplicando a
: pela regra da cadeia (derivar
dá
),
Passo 5
Calcular
passo a passo.
Usando , temos
Usando
Avaliar
: primeiro
, então
. Logo
Passo 6
Calcular
passo a passo.
Usando , temos
Usando
Como
, obtemos
Passo 7
Aplicar a fórmula da regra da cadeia e calcular o produto escalar.
Temos e
. Então
Temos
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo: o resultado
significa que, naquele ponto, a combinação das inclinações de
nas direções dadas por
e
anula a derivada total — ou seja, a taxa de variação instantânea de
em
é zero. Mandou bem de acompanhar passo a passo!