Use regra da cadeia para calcular g^{\prime}(8)
g(x)=f(u(x), v(x))
\nabla f(2,3)=(2,-1)
u(x)=\sqrt[3]{x}
v(x)=\sqrt{x+1}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
Dado:
\;g(x)=f(u(x),v(x))
\;\nabla f(2,3)=(2,-1) (isto é, as derivadas parciais de f em (2,3) formam o vetor (2,-1))
\;u(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}
\;v(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}
Pedido: calcular \;g^{\prime}(8).

Passo 2

Ideia da regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis (explicação didática).
Quando você tem \;g(x)=f(u(x),v(x)), a variação de g em x vem da variação de f em suas duas entradas e da forma como u e v variam com x. A fórmula prática é
g'(x)=\nabla f\big(u(x),v(x)\big)\cdot \big(u'(x),v'(x)\big).
Aqui:
  • \nabla f(a,b) é o vetor \big(\partial f/\partial x (a,b),\; \partial f/\partial y (a,b)\big). No enunciado esse vetor em (2,3) é (2,-1).
  • O símbolo \cdot é o produto escalar (dot product). Se \,p=(p_1,p_2) e q=(q_1,q_2), então p\cdot q = p_1 q_1 + p_2 q_2.
    Portanto, para calcular g'(8) vamos avaliar o gradiente de f no ponto (u(8),v(8)) e fazer o produto escalar com os derivadas u'(8) e v'(8).

Passo 3

Verificar o ponto onde devemos avaliar o gradiente.
Calculo u(8) e v(8):
u(8)=\sqrt[3]{8}=2,
v(8)=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3.
Observação importante: peguei esses valores diretamente das expressões de u(x) e v(x) dadas no enunciado. Como u(8)=2 e v(8)=3, o ponto (u(8),v(8)) é (2,3), exatamente o ponto onde conhecemos \nabla f. Então podemos usar \nabla f(2,3)=(2,-1).

Passo 4

Calcular u'(x) e v'(x) (regra do poder e da cadeia simples).
Regra do poder: se h(x)=x^{a} com a constante, então h'(x)=a x^{a-1}.
Aplicando a u(x)=x^{1/3}:
u'(x)=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Aplicando a v(x)=(x+1)^{1/2}: pela regra da cadeia (derivar x+1 1),
v'(x)=\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}.

Passo 5

Calcular u'(8) passo a passo.
Usando u'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}, temos
u'(8)=\frac{1}{3}\cdot 8^{-2/3}.
Avaliar 8^{-2/3}: primeiro 8^{1/3}=2, então 8^{-2/3}=(8^{1/3})^{-2}=2^{-2}=\tfrac{1}{4}. Logo
u'(8)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}.

Passo 6

Calcular v'(8) passo a passo.
Usando v'(x)=\frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}, temos
v'(8)=\frac{1}{2}\cdot (8+1)^{-1/2}=\frac{1}{2}\cdot 9^{-1/2}.
Como 9^{-1/2}=1/3, obtemos
v'(8)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da regra da cadeia e calcular o produto escalar.
Temos \nabla f(2,3)=(2,-1) e (u'(8),v'(8))=\big(\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{6}\big). Então
g'(8)= (2,-1)\cdot\left(\tfrac{1}{12},\tfrac{1}{6}\right) =2\cdot\tfrac{1}{12}+(-1)\cdot\tfrac{1}{6}.
Calcule cada termo:
2\cdot\tfrac{1}{12}=\tfrac{2}{12}=\tfrac{1}{6}, \qquad (-1)\cdot\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{6}.
Somando:
g'(8)=\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{6}=0.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: o resultado g'(8)=0 significa que, naquele ponto, a combinação das inclinações de f nas direções dadas por u e v anula a derivada total — ou seja, a taxa de variação instantânea de g em x=8 é zero. Mandou bem de acompanhar passo a passo!

Resposta

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