Use regra da cadeia para calcular \nabla g(0,0)
g(x, y)=f(u(x, y))
f(u)=\cos (u)
u(0,0)=\frac{\pi}{6}
\nabla u(0,0)=(1,2)

Passo 1

O que o problema pede: calcular \nabla g(0,0) para a função composta g(x,y)=f(u(x,y)).
Informações dadas:
f(u)=\cos(u)
u(0,0)=\frac{\pi}{6}
\nabla u(0,0)=(1,2)

Passo 2

Conceito / fórmula que vamos usar (regra da cadeia para gradiente): se g(x,y)=f(u(x,y)) com f função de uma variável e u função de x,y, então a regra da cadeia diz
\nabla g(x,y)=f'\big(u(x,y)\big)\,\nabla u(x,y).
Explicando: \nabla g é o vetor de derivadas parciais de g. A derivada f' é a derivada usual de f em relação a u (um número escalar). Multiplicamos esse número pelo vetor \nabla u coordenada a coordenada.

Passo 3

Calcule f'(u) para f(u)=\cos(u). A derivada de \cos é
f'(u) = -\sin(u).
Aqui f'(u) significa "derivada de f em relação a u".

Passo 4

Avalie f' no ponto dado usando u(0,0)=\frac{\pi}{6}:
f'\big(u(0,0)\big) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Sabemos que \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}, logo
f'\big(u(0,0)\big) = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora aplique a fórmula do Passo 2 em (0,0): multiplique o escalar f'(u(0,0))=-\tfrac{1}{2} pelo vetor \nabla u(0,0)=(1,2). A multiplicação escalar-vetor é feita coordenada a coordenada:
\nabla g(0,0) = -\tfrac{1}{2}\cdot(1,2) = \big(-\tfrac{1}{2}, -1\big).
Cálculo das coordenadas:
\text{primeira coordenada: } -\tfrac{1}{2}\cdot 1 = -\tfrac{1}{2},
\text{segunda coordenada: } -\tfrac{1}{2}\cdot 2 = -1.

Resposta

\nabla g(0,0)=\left(-\tfrac{1}{2},-1\right)

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