Use regra da cadeia para calcular nabla k(0,0)
k(x, y)=h(f(x, y))
h(t)=cos (t)
f(0,0)=pi6
nabla f(0,0)=(1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o gradiente de uma função chamada $ k(x, y) $ no ponto $ (0,0) $. O gradiente nos dá uma ideia da direção em que a função está aumentando mais rápido. Aqui, estamos trabalhando com regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas. Precisamos saber:
  • Como é a função $ k(x, y) $
  • A função interna $ f(x, y) $
  • A derivada de $ h(t) = \cos(t) $
  • Os valores de $ f $ e seu gradiente no ponto $ (0,0) $

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ k(x, y) $. Ela é definida como $ k(x, y) = h(f(x, y)) $, onde $ h(t) = \cos(t) $. Isso significa que $ k $ é uma função composta: primeiro aplicamos $ f $ em $ (x, y) $ e depois aplicamos $ \cos $ no resultado.

Passo 3

Para encontrar o gradiente de $ k $, $ \nabla k $, no ponto $ (0,0) $, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia para gradientes diz que:
k
Aqui, $ h’(t) $ é a derivada de $ h(t) $ em relação a $ t $, e $ \nabla f(x, y) $ é o gradiente de $ f $ em $ (x, y) $.

Passo 4

Vamos calcular $ h’(t) $. Sabemos que $ h(t) = \cos(t) $, então sua derivada é:
h'(t)

Passo 5

Agora, vamos avaliar $ h’(f(0,0)) $. Sabemos que $ f(0,0) = \frac{\pi}{6} $, então:
h'(f(0,0))

Passo 6

Também sabemos o gradiente de $ f $ no ponto $ (0,0) $, que é $ \nabla f(0,0) = (1, 2) $.

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia com os valores que encontramos:
nabla k(0,0) = h'(f(0,0)) cdot nabla f(0,0) = -12 cdot (1, 2)
Isso significa que multiplicamos cada componente do gradiente de $ f $ por $ -\frac{1}{2} $:
f

Resposta

O gradiente de $ k $ no ponto $ (0,0) $ é:
k

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