Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o gradiente de uma função chamada $ k(x, y) $ no ponto $ (0,0) $. O gradiente nos dá uma ideia da direção em que a função está aumentando mais rápido. Aqui, estamos trabalhando com regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas. Precisamos saber:
- Como é a função $ k(x, y) $
- A função interna $ f(x, y) $
- A derivada de $ h(t) = \cos(t) $
- Os valores de $ f $ e seu gradiente no ponto $ (0,0) $
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ k(x, y) $. Ela é definida como $ k(x, y) = h(f(x, y)) $, onde $ h(t) = \cos(t) $. Isso significa que $ k $ é uma função composta: primeiro aplicamos $ f $ em $ (x, y) $ e depois aplicamos $ \cos $ no resultado.
Passo 3
Para encontrar o gradiente de $ k $, $ \nabla k $, no ponto $ (0,0) $, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia para gradientes diz que:
Aqui, $ h’(t) $ é a derivada de $ h(t) $ em relação a $ t $, e $ \nabla f(x, y) $ é o gradiente de $ f $ em $ (x, y) $.
Passo 4
Vamos calcular $ h’(t) $. Sabemos que $ h(t) = \cos(t) $, então sua derivada é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar $ h’(f(0,0)) $. Sabemos que $ f(0,0) = \frac{\pi}{6} $, então:
Passo 6
Também sabemos o gradiente de $ f $ no ponto $ (0,0) $, que é $ \nabla f(0,0) = (1, 2) $.
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia com os valores que encontramos:
Isso significa que multiplicamos cada componente do gradiente de $ f $ por $ -\frac{1}{2} $:
Resposta
O gradiente de $ k $ no ponto $ (0,0) $ é: