Use regra da cadeia para calcular \nabla g(\ln (2), 2)
g(x, y)=f(u(x, y))
f^{\prime}(16)=\frac{1}{4}
u(x, y)=e^{x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de g no ponto \big(\ln(2),\,2\big), onde g é definida por g(x,y)=f\big(u(x,y)\big). As informações dadas são:
f'(16)=\tfrac{1}{4},
u(x,y)=e^{x y^{2}}.
Queremos então \nabla g\big(\ln(2),2\big).

Passo 2

Vou lembrar a regra da cadeia vetorial para funções compostas do tipo g(x,y)=f\big(u(x,y)\big). A forma prática é:
\nabla g(x,y)=f'\big(u(x,y)\big)\,\nabla u(x,y).
Explicando isso com calma: \nabla g é o vetor das derivadas parciais \big(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y\big). Como g depende de (x,y) somente através de u(x,y), cada derivada parcial de g é a derivada de f avaliada em u multiplicada pela derivada parcial correspondente de u. Em fórmulas:
\frac{\partial g}{\partial x}=f'\big(u(x,y)\big)\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=f'\big(u(x,y)\big)\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Primeiro avalio u no ponto \big(\ln(2),2\big). Usando u(x,y)=e^{x y^{2}}:
u\big(\ln(2),2\big)=e^{(\ln(2))\cdot 2^{2}}=e^{4\ln(2)}.
Sabendo que e^{\ln(a)}=a, temos e^{4\ln(2)}=(e^{\ln(2)})^{4}=2^{4}=16.
Portanto
u\big(\ln(2),2\big)=16.

Passo 4

Agora preciso do fator f'\big(u(\ln(2),2)\big). Como u(\ln(2),2)=16 e o enunciado nos deu f'(16)=\tfrac{1}{4}, segue que
f'\big(u(\ln(2),2)\big)=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Vou calcular as derivadas parciais de u(x,y)=e^{x y^{2}}. Para isso uso a regra da cadeia simples (derivada de exponencial) e derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=y^{2} e^{x y^{2}}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2 x y\, e^{x y^{2}}.
Explicando: derivando e^{x y^{2}} em relação a x tratamos y como constante, então a derivada do expoente x y^{2} em relação a x é y^{2}. Para y, a derivada do expoente é 2xy.

Passo 6

Agora avalio essas parciais no ponto \big(\ln(2),2\big). Primeiro já sabemos e^{x y^{2}}=u=16 nesse ponto. Então:
\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{(\ln(2),2)}=y^{2}\cdot u\big(\ln(2),2\big)=2^{2}\cdot 16=4\cdot 16=64,
\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{(\ln(2),2)}=2 x y\cdot u\big(\ln(2),2\big)=2\cdot \ln(2)\cdot 2\cdot 16=4\ln(2)\cdot 16=64\ln(2).

Passo 7

Agora uso a fórmula do Passo 2: \nabla g=f'(u)\,\nabla u. Multiplicando o escalar f'\big(u(\ln(2),2)\big)=\tfrac{1}{4} pelo vetor \big(64,\,64\ln(2)\big) obtenho:
\nabla g\big(\ln(2),2\big)=\tfrac{1}{4}\big(64,\,64\ln(2)\big)=\big(16,\,16\ln(2)\big).

Resposta

\nabla g\big(\ln(2),2\big)=\big(16,\,16\ln(2)\big)

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