Use regra da cadeia para calcular \nabla g(\ln (2), 2) g(x, y)=f(u(x, y)) f^{\prime}(16)=\frac{1}{4} u(x, y)=e^{x y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de g no ponto \big(\ln(2),\,2\big), onde g é definida por g(x,y)=f\big(u(x,y)\big). As informações dadas são:
f'(16)=\tfrac{1}{4},
u(x,y)=e^{x y^{2}}.
Queremos então \nabla g\big(\ln(2),2\big).
Passo 2
Vou lembrar a regra da cadeia vetorial para funções compostas do tipo g(x,y)=f\big(u(x,y)\big). A forma prática é:
\nabla g(x,y)=f'\big(u(x,y)\big)\,\nabla u(x,y).
Explicando isso com calma: \nabla g é o vetor das derivadas parciais \big(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y\big). Como g depende de (x,y) somente através de u(x,y), cada derivada parcial de g é a derivada de f avaliada em u multiplicada pela derivada parcial correspondente de u. Em fórmulas:
Explicando: derivando e^{x y^{2}} em relação a x tratamos y como constante, então a derivada do expoente x y^{2} em relação a x é y^{2}. Para y, a derivada do expoente é 2xy.
Passo 6
Agora avalio essas parciais no ponto \big(\ln(2),2\big). Primeiro já sabemos e^{x y^{2}}=u=16 nesse ponto. Então:
\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{(\ln(2),2)}=2 x y\cdot u\big(\ln(2),2\big)=2\cdot \ln(2)\cdot 2\cdot 16=4\ln(2)\cdot 16=64\ln(2).
Passo 7
Agora uso a fórmula do Passo 2: \nabla g=f'(u)\,\nabla u. Multiplicando o escalar f'\big(u(\ln(2),2)\big)=\tfrac{1}{4} pelo vetor \big(64,\,64\ln(2)\big) obtenho: