Use a Regra da Cadeia para determinar d vd t :
v=x^2 y+x y^2, com x=2+t^4 e y=1-t^3.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar dvdt usando a Regra da Cadeia, onde
v = x^2y + x y^2, com as funções de tempo x(t) = 2 + t^4 e y(t) = 1 - t^3. Vamos usar teoria de derivadas parciais e cadeias.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = 4t^3,
dydt = -3t^2

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de v(x,y):
partial vpartial x = 2xy + y^2,
partial vpartial y = x^2 + 2xy

Passo 4

Aplicamos a Regra da Cadeia para funções de duas variáveis:
dvdt = partial vpartial xdxdt + partial vpartial ydydt

Passo 5

Substituindo partial v/partial x, partial v/partial y, dx/dt e dy/dt:
dvdt = (2xy + y^2)cdot4t^3 + (x^2 + 2xy)cdot(-3t^2)
E lembrando que x = 2 + t^4 e y = 1 - t^3.

Passo 6

Se a gente quiser deixar tudo em função de t, basta expandir e simplificar. O resultado final em polinômio de t é:
dvdt = -24t^2 + 20t^3 + 12t^5 - 42t^6 + 8t^7 + 10t^9 -11t^10

Resposta

dvdt = -24t^2 + 20t^3 + 12t^5 - 42t^6 + 8t^7 + 10t^9 -11t^10

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