Como feito em sala, usando o método de varíaveis separaveis, encontre a solução dos problemas de valor inicial e de fronteira
(a) l uy y+ux x=0, 0 <= x <= a, 0 <= y <= b u(x, 0)=0, u(x, b)=0, 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace uxx+uyy=0 no retângulo 0<= x<= a, 0<= y<= b com condições de contorno de Dirichlet u(x,0)=u(x,b)=u(0,y)=0 e u(a,y)=f(y). Vamos aplicar o método de separação de variáveis e expansão em série de Fourier.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na equação uxx+uyy=0 e dividindo por X(x)Y(y) obtemos a separação
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Cada termo depende de variável diferente, logo fixamos uma constante de separação lambda:
X''(x) - lambda X(x) = 0, Y''(y) + lambda Y(y) = 0

Passo 3

Para Y(y) temos o problema de Sturm–Liouville com Y(0)=Y(b)=0. As autovalores e autofunções são
lambdan = l(tfracnpibr)^2, Yn(y)=sinl(tfracnpi ybr), n=1,2,3,dots

Passo 4

Para Xn(x) resolvemos X'' - (npi/b)^2 X=0. A solução geral é
Xn(x)=Ansinhl(tfracnpi xbr)+Bncoshl(tfracnpi xbr)
Como u(0,y)=0 para toda y, temos Xn(0)=0 e logo Bn=0. Assim
Xn(x)=Ansinhl(tfracnpi xbr)

Passo 5

A solução geral fica como soma das modas:
u(x,y)=sumn=1^infty Ansinhl(tfracnpi xbr)sinl(tfracnpi ybr)

Passo 6

Para impor u(a,y)=f(y) escrevemos
f(y)=sumn=1^infty Ansinhl(tfracnpi abr)sinl(tfracnpi ybr)
Projetando em cada sin(npi y/b) pelo desenvolvimento de Fourier obtemos
An=2bsinhl(tfracnpi abr) integral0^b f(eta)sinl(tfracnpi etabr),deta

Resposta

u(x,y)=sumn=1^infty(2bsinhl(tfracnpi abr)integral0^b f(eta)sinl(tfracnpi etabr),deta) sinhl(tfracnpi xbr)sinl(tfracnpi ybr)

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