Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. u=x^2+y z, x=p cos theta, y=p sin theta, z=p+r ;
partial upartial p, partial upartial r, partial upartial theta quando p=2, r=3, theta=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cálculo Diferencial usando a Regra da Cadeia para encontrar derivadas parciais. O enunciado nos dá a função x = p cos theta, y = p sin theta, z = p + r , onde são funções de :
Precisamos determinar as derivadas parciais de em relação a , e nos pontos , , . Para isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u = (p cos theta)^2 + (p sin theta)(p + r) em relação a u = p^2 cos^2 theta + p^2 sin theta + p r sin theta , ou seja, partial upartial p = 2p cos^2 theta + 2p sin theta + r sin theta .
Passo 2.1: Expressamos em termos de substituindo :
Passo 2.2: Simplificamos a expressão:
Passo 2.3: Aplicamos a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial r = partial upartial z cdot partial zpartial r em relação a partial upartial z = y, partial zpartial r = 1 , ou seja, partial upartial r = y cdot 1 = y = p sin theta .
Passo 3.1: Observamos que apenas depende de . Então, derivamos em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação a :
Passo 3.2: Calculamos as derivadas individuais:
Passo 3.3: Substituímos:

Passo 4

Por fim, vamos determinar a derivada parcial de u = p^2 cos^2 theta + p^2 sin theta + p r sin theta em relação a partial upartial theta = p^2 cdot 2 cos theta (-sin theta) + p^2 cos theta + p r cos theta , ou seja, partial upartial theta = -2 p^2 cos theta sin theta + p^2 cos theta + p r cos theta .
Passo 4.1: Novamente, expressamos em termos de :
Passo 4.2: Derivamos em relação a :
Passo 4.3: Simplificamos:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores partial upartial p = 2(2) cos^2 0 + 2(2) sin 0 + 3 sin 0 = 4 cdot 1 + 0 + 0 = 4 , partial upartial r = 2 sin 0 = 0 , partial upartial theta = -2 (2)^2 cos 0 sin 0 + (2)^2 cos 0 + 2 cdot 3 cos 0 = 0 + 4 cdot 1 + 6 cdot 1 = 10 em cada derivada parcial calculada.
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais quando partial upartial p = 4, partial upartial r = 0, partial upartial theta = 10 , e são:

Exercícios relacionados