Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Cálculo Diferencial usando a Regra da Cadeia para encontrar derivadas parciais. O enunciado nos dá a função
, onde
são funções de
:
Precisamos determinar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
nos pontos
,
,
. Para isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 2.1: Expressamos
em termos de
substituindo
:
Passo 2.2: Simplificamos a expressão:
Passo 2.3: Aplicamos a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3.1: Observamos que apenas
depende de
. Então, derivamos
em relação a
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Passo 3.2: Calculamos as derivadas individuais:
Passo 3.3: Substituímos:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 4.1: Novamente, expressamos
em termos de
:
Passo 4.2: Derivamos em relação a
:
Passo 4.3: Simplificamos:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores
,
,
em cada derivada parcial calculada.
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais quando
,
e
são: