Use a Regra da Cadeia para determinar d zd t ou d wd t.
4) z=x cdot ln (x+2 y), x=sen(t), y=cos (t)

Passo 1

O enunciado define z = xln(x + 2y) com x = sin t e y = cos t. Aqui usamos a regra da cadeia para função de duas variáveis: vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e a y, das derivadas de x e y em relação a t e, por fim, aplicar
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z. Como z = xcdotln(x+2y), usamos a regra do produto e a cadeia sobre o logaritmo:
partial zpartial x = ln(x+2y) + xx+2y, partial zpartial y = 2xx+2y

Passo 3

Agora obtém-se tfracdxdt e tfracdydt. Como x=sin t e y=cos t, temos
dxdt = cos t e dydt = -sin t.
Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 4

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x,y, além de x=sin t e y=cos t:
dzdt = l(ln(sin t + 2cos t) + sin tsin t + 2cos tr)cos t - 2sin tsin t + 2cos t,sin t

Passo 5

Para deixar mais enxuto, combine a parte fracionária:
sin tsin t + 2cos t,cos t - 2sin tsin t + 2cos t,sin t = sin tl(cos t - 2sin tr)sin t + 2cos t
Logo sobra
dzdt = cos t,ln(sin t + 2cos t) + sin tl(cos t - 2sin tr)sin t + 2cos t

Resposta

dzdt = cos t,ln(sin t + 2cos t) + sin tl(cos t - 2sin tr)sin t + 2cos t

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