Determine as derivadas parciais indicadas.
7) u=ln (x+2 y^2+3 z^3) ; partial^2 upartial x partial y partial z

Passo 1

O enunciado define
u = lnl(x + 2y^2 + 3z^3r)
e pede a derivada mista de ordem três
dfracpartial^3 upartial x,partial y,partial z.
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia sucessivamente.

Passo 2

Defina a função interna
F(x,y,z) = x + 2y^2 + 3z^3
Como u=ln F, a primeira derivada parcial em relação a x é
partial upartial x = 1F,partial Fpartial x = 1Fcdot 1 = 1F

Passo 3

Agora derivamos partial u/partial x = F^-1 em relação a y. Pela regra da cadeia,
partial^2 upartial y,partial x = partialpartial yl(F^-1r) = -F^-2,partial Fpartial y = -F^-2cdot(4y) = -4yF^2

Passo 4

Finalmente, derivamos partial^2u/(partial y,partial x) = -4y,F^-2 em relação a z. Como partial F/partial z=9z^2,
partial^3 upartial z,partial y,partial x = partialpartial zl(-4y,F^-2r) = -4ycdot(-2),F^-3,partial Fpartial z = 8y 9z^2F^3 = 72,y,z^2F^3

Resposta

partial^3 upartial x,partial y,partial z = 72,y,z^2l(x + 2y^2 + 3z^3r)^3

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