1. Use uma regra da cadeia para determinar d zd t|t=3 se z=x^2 y;
    x=t^2, y=t+7.

Passo 1

A questão pede para calcular dzdt em t=3, onde z=x^2y, x=t^2 e y=t+7. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y, além de dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Aplique a regra da cadeia para obter dz/dt em termos de derivadas parciais e de x(t), y(t):
[ dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt ]
Agora calcule as derivadas parciais de z=x^2y:
[ partial zpartial x = 2xy, partial zpartial y = x^2 ]

Passo 3

Determine as derivadas de x e y em função de t: x=t^2 e y=t+7 implicam
[ dxdt = 2t, dydt = 1 ]

Passo 4

Agora avalie tudo em t=3. Temos x(3)=3^2=9 e y(3)=3+7=10. Substituindo na fórmula de dz/dt:
[ dzdtg|t=3 = (2cdot 9cdot 10),(2cdot 3) + (9^2),(1) = 180cdot 6 + 81 = 1080 + 81 = 1161 ]

Resposta

dzdt|t=3 = 1161

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