Determine o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2}}{x^{2}+2 y^{2}}, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}}{x^{2}+2y^{2}},
se existir, ou então que mostremos que esse limite não existe. O conteúdo aqui é análise de limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de limites ao longo de retas (ou caminhos) para verificar se o valor é único ou varia conforme a direção de aproximação.

Passo 2

Aproximando ao longo do eixo x (isto é, y=0), substituímos em
\frac{3x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}
o valor y=0. Obtemos
\frac{3x^{2}}{x^{2}+2\cdot0^{2}} =\frac{3x^{2}}{x^{2}} =3.
Logo, pela reta y=0, o limite parece ser 3.

Passo 3

Agora aproximamos ao longo da reta y = x. Substituindo y=x em
\frac{3x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}
temos
\frac{3x^{2}}{x^{2}+2x^{2}} =\frac{3x^{2}}{3x^{2}} =1.
Portanto, ao longo de y=x, o limite é 1.

Passo 4

Como a aproximação por duas retas distintas deu valores diferentes ( 3 e 1), concluímos que o limite depende do caminho de aproximação. Em funções de duas variáveis, para que o limite exista, o valor deve ser o mesmo para toda forma de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

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