Determine o
, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
se existir, ou então que mostremos que esse limite não existe. O conteúdo aqui é análise de limite de função de duas variáveis e vamos usar o teste de limites ao longo de retas (ou caminhos) para verificar se o valor é único ou varia conforme a direção de aproximação.
Passo 2
Aproximando ao longo do eixo
(isto é,
), substituímos em
o valor
. Obtemos
Logo, pela reta
, o limite parece ser
.
Passo 3
Agora aproximamos ao longo da reta
. Substituindo
em
temos
Portanto, ao longo de
, o limite é
.
Passo 4
Como a aproximação por duas retas distintas deu valores diferentes (
e
), concluímos que o limite depende do caminho de aproximação. Em funções de duas variáveis, para que o limite exista, o valor deve ser o mesmo para toda forma de aproximação.
Resposta
O limite não existe.