onde .
Reescreva a integral em coordenadas polares e calcule o valor correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde a região é definida por . Aqui, estamos lidando com geometria e cálculo, especificamente com integração em coordenadas polares. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar a integral para essa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, bora entender a região . A equação representa uma elipse centrada na origem. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma essa elipse em um círculo, assim podemos usar coordenadas polares mais facilmente. Vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos ajustar o elemento de área . Calculamos o Jacobiano da transformação:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaB y , dx , dy = integral0^2pi integral0^1 ( r sintheta2 ) cdot r2 , dr , dtheta = 14 integral0^2pi sintheta integral0^1 r^2 , dr , dtheta e :
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13 :