Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
\frac{d z}{d t} em t=0, se z=\sqrt{x^{2} y-3 x y^{4}}, \quad x=\operatorname{sen} 2 t, y=\cos t.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (peguei tudo do enunciado):
  • Pede a derivada \dfrac{dz}{dt} no ponto t=0.
  • As relações dadas são:
    • z=\sqrt{x^{2}y-3xy^{4}}.
    • x=\sin 2t.
    • y=\cos t.
Observação importante (apenas listando informação do enunciado): a expressão de z envolve raiz quadrada, então é necessário que o argumento x^{2}y-3xy^{4} seja \ge 0 para z ser real. Não vou assumir nada além do enunciado; vou calcular a derivada formalmente e depois verificar o que acontece em t=0.

Passo 2

Regra da cadeia para funções de duas variáveis (a ideia e a fórmula):
  • Se z depende de x e y, e x e y dependem de t, então a derivada total de z em relação a t é a soma das variações de z por x e por y, ponderadas pelas variações de x e de y por t. Em fórmula:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando cada peça: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z tratando y como constante; \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x(t). Mesma ideia para a parcela com y.
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso z.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em termos de x e y.
  • Primeiro escrevo o argumento da raiz como função auxiliar
u(x,y)=x^{2}y-3xy^{4}.
Então z=\sqrt{u}=u^{1/2}. A derivada de u^{1/2} em relação a u é \dfrac{1}{2}u^{-1/2}. Pelo efeito da cadeia para parciais:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Agora calcule \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial u}{\partial x}=2xy-3y^{4}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}-12xy^{3}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{2xy-3y^{4}}{\sqrt{u}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}\frac{x^{2}-12xy^{3}}{\sqrt{u}},
onde \sqrt{u}=\sqrt{x^{2}y-3xy^{4}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} e avaliar x,y e essas derivadas em t=0.
  • Derivadas de x e y:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(\sin 2t)=2\cos 2t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
  • Valores em t=0:
x(0)=\sin 0=0,\qquad y(0)=\cos 0=1,
\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=2\cos 0=2,\qquad \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}=-\sin 0=0.

Passo 5

Montar \dfrac{dz}{dt} pela regra da cadeia e avaliar em t=0.
  • Pela fórmula do Passo 2 e as expressões do Passo 3:
\frac{dz}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\Big(\big(2xy-3y^{4}\big)\frac{dx}{dt}+\big(x^{2}-12xy^{3}\big)\frac{dy}{dt}\Big),
com u=x^{2}y-3xy^{4}.
  • Avaliando em t=0 (usando os valores do Passo 4):
    • Primeiro u(0)=x(0)^{2}y(0)-3x(0)y(0)^{4}=0-0=0.
    • Em seguida as derivadas parciais em t=0: \left(2xy-3y^{4}\right)\Big|_{t=0}=2\cdot0\cdot1-3\cdot1^{4}=-3,
\left(x^{2}-12xy^{3}\right)\Big|_{t=0}=0^{2}-12\cdot0\cdot1^{3}=0.
  • E \left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=0}=2,\\ \left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=0}=0.
  • Então o numerador na fórmula (a expressão entre parênteses) em t=0 é
(-3)\cdot 2 + 0\cdot 0 = -6.
  • O denominador é 2\sqrt{u(0)}=2\sqrt{0}=0. Portanto a expressão formal dá \dfrac{-6}{0}, ou seja, não é um número finito.

Passo 6

Interpretação e conclusão fina sobre existência da derivada em t=0.
  • Quando u(0)=0 e a derivada de u em t no ponto não é zero, a composição z=\sqrt{u(t)} tem comportamento tipo raiz: para t pequeno u(t)\approx u'(0)\,t. Vamos calcular u'(0) rapidamente via cadeia:
\left.\frac{du}{dt}\right|_{t=0}=\left(2xy-3y^{4}\right)\Big|_{t=0}\cdot\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}+\left(x^{2}-12xy^{3}\right)\Big|_{t=0}\cdot\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}=-6.
Logo, para t próximo de 0, u(t)\approx -6t. Portanto, para t<0 pequeno temos u(t)>0 e
z(t)=\sqrt{u(t)}\approx\sqrt{-6t}=\sqrt{6}\,\sqrt{|t|}.
O quociente diferencial (diferença incremental sobre t) para t\to0^{-} tem comportamento
\frac{z(t)-z(0)}{t}=\frac{\sqrt{u(t)}}{t}\approx\frac{\sqrt{6}\sqrt{|t|}}{t}=-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{|t|}}\to -\infty.
Para t>0 pequeno, u(t)\approx -6t<0 e z(t) não é real; assim não existe derivada real pela direita. Em suma, a taxa de variação tende a -\infty ao aproximar por t\to0^{-} e não há valor finito de derivada em t=0.
  • Conclusão: \dfrac{dz}{dt} não existe como número real finito em t=0. Mais precisamente, o limite do quociente incremental tende a -\infty vindo da esquerda e para a direita z nem é real.

Resposta

A derivada \dfrac{dz}{dt} não existe em t=0 (diverge para -\infty quando t\to0^{-}; para t>0 a função z não é real).

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