Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada. \frac{d z}{d t} em t=0, se z=\sqrt{x^{2} y-3 x y^{4}}, \quad x=\operatorname{sen} 2 t, y=\cos t.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (peguei tudo do enunciado):
Pede a derivada \dfrac{dz}{dt} no ponto t=0.
As relações dadas são:
z=\sqrt{x^{2}y-3xy^{4}}.
x=\sin 2t.
y=\cos t.
Observação importante (apenas listando informação do enunciado): a expressão de z envolve raiz quadrada, então é necessário que o argumento x^{2}y-3xy^{4} seja \ge 0 para z ser real. Não vou assumir nada além do enunciado; vou calcular a derivada formalmente e depois verificar o que acontece em t=0.
Passo 2
Regra da cadeia para funções de duas variáveis (a ideia e a fórmula):
Se z depende de x e y, e x e y dependem de t, então a derivada total de z em relação a t é a soma das variações de z por x e por y, ponderadas pelas variações de x e de y por t. Em fórmula:
Explicando cada peça: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z tratando y como constante; \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x(t). Mesma ideia para a parcela com y.
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso z.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de z em termos de x e y.
Primeiro escrevo o argumento da raiz como função auxiliar
u(x,y)=x^{2}y-3xy^{4}.
Então z=\sqrt{u}=u^{1/2}. A derivada de u^{1/2} em relação a u é \dfrac{1}{2}u^{-1/2}. Pelo efeito da cadeia para parciais:
E \left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=0}=2,\\ \left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=0}=0.
Então o numerador na fórmula (a expressão entre parênteses) em t=0 é
(-3)\cdot 2 + 0\cdot 0 = -6.
O denominador é 2\sqrt{u(0)}=2\sqrt{0}=0. Portanto a expressão formal dá \dfrac{-6}{0}, ou seja, não é um número finito.
Passo 6
Interpretação e conclusão fina sobre existência da derivada em t=0.
Quando u(0)=0 e a derivada de u em t no ponto não é zero, a composição z=\sqrt{u(t)} tem comportamento tipo raiz: para t pequeno u(t)\approx u'(0)\,t. Vamos calcular u'(0) rapidamente via cadeia:
Para t>0 pequeno, u(t)\approx -6t<0 e z(t) não é real; assim não existe derivada real pela direita. Em suma, a taxa de variação tende a -\infty ao aproximar por t\to0^{-} e não há valor finito de derivada em t=0.
Conclusão: \dfrac{dz}{dt} não existe como número real finito em t=0. Mais precisamente, o limite do quociente incremental tende a -\infty vindo da esquerda e para a direita z nem é real.
Resposta
A derivada \dfrac{dz}{dt} não existe em t=0 (diverge para -\infty quando t\to0^{-}; para t>0 a função z não é real).