Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
\frac{d w}{d r}, \quad \frac{d w}{d s}, se w=6 x y z, \quad x=r s, \quad y=2 r+s, \quad z=3 r^{2}-s.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de w em relação a r e a s. As informações dadas são:
  • w=6xyz.
  • x=r s.
  • y=2r+s.
  • z=3r^{2}-s.
As duas quantidades solicitadas são:
\frac{d w}{d r} \qquad\text{e}\qquad \frac{d w}{d s}.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis (aula rápida e prática). Se w=w(x,y,z) e x=x(r,s), y=y(r,s), z=z(r,s), então a derivada de w em relação a r é dada por:
\frac{d w}{d r} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r}.
Aqui \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} significa: derivar w supondo y e z constantes, e análogo para as outras parciais. A mesma forma vale para \dfrac{d w}{d s} trocando r por s:
\frac{d w}{d s} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de w em relação a x,y,z. Como w=6xyz, ao derivar em relação a uma variável tratamos as outras como constantes:
\frac{\partial w}{\partial x}=6yz, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=6xz, \qquad \frac{\partial w}{\partial z}=6xy.
Explicação breve: por exemplo \dfrac{\partial w}{\partial x} w como 6\cdot x\cdot(yz), então a derivada é 6\cdot(yz).

Passo 4

Calcular as derivadas de x,y,z em relação a r (essas são simples porque x,y,z são dadas explicitamente):
x=r s \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial r}=s,
y=2r+s \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial r}=2,
z=3r^{2}-s \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial r}=6r.
Comentário: derivada de 3r^2 é 6r; s é tratado como constante ao derivar em relação a r.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{d w}{d r}. Substituindo as parciais calculadas:
\frac{d w}{d r} = (6yz)\cdot s + (6xz)\cdot 2 + (6xy)\cdot 6r.
Factorizando 6 (para ficar mais legível):
\frac{d w}{d r} = 6\bigl(s\cdot y\cdot z + 2\cdot x\cdot z + 6r\cdot x\cdot y\bigr).

Passo 6

Agora substituir x=r s, y=2r+s, z=3r^{2}-s para obter a expressão em termos de r e s. Primeiro expandir cada termo dentro dos parênteses:
Calcular s\cdot y\cdot z:
s\cdot y\cdot z = s(2r+s)(3r^{2}-s) =6r^{3}s -2r s^{2}+3r^{2}s^{2}-s^{3}.
Calcular 2\cdot x\cdot z:
2xz = 2(rs)(3r^{2}-s) = 6r^{3}s -2r s^{2}.
Calcular 6r\cdot x\cdot y:
6rxy = 6r\cdot (rs)\cdot(2r+s) = 12r^{3}s +6r^{2}s^{2}.
Somando esses três resultados:
s y z + 2 x z + 6r x y = 24r^{3}s +9r^{2}s^{2} -4r s^{2} - s^{3}.
Multiplicando por 6:
\frac{d w}{d r} =144r^{3}s +54r^{2}s^{2} -24r s^{2} -6 s^{3}.

Passo 7

Calcular as derivadas de x,y,z em relação a s:
\frac{\partial x}{\partial s}=r, \qquad \frac{\partial y}{\partial s}=1, \qquad \frac{\partial z}{\partial s}=-1.
Comentário: ao derivar z=3r^{2}-s em relação a s obtemos -1.

Passo 8

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{d w}{d s}:
\frac{d w}{d s} = (6yz)\cdot r + (6xz)\cdot 1 + (6xy)\cdot(-1).
Factorizando 6:
\frac{d w}{d s} =6\bigl(r\cdot y\cdot z + x\cdot z - x\cdot y\bigr).

Passo 9

Substituir x=r s, y=2r+s, z=3r^{2}-s e expandir os termos:
Calcular r\cdot y\cdot z:
r y z = r(2r+s)(3r^{2}-s) = 6r^{4} +6r^{3}s -2r^{2}s - r s^{2}.
Calcular x z:
x z = (rs)(3r^{2}-s) = 3r^{3}s - r s^{2}.
Calcular -x y:
- x y = - (rs)(2r+s) = -2r^{2}s - r s^{2}.
Somando:
r y z + x z - x y = 6r^{4} +6r^{3}s -4r^{2}s -3r s^{2}.
Multiplicando por 6:
\frac{d w}{d s} =36r^{4} +36r^{3}s -24r^{2}s -18r s^{2}.

Resposta

\frac{d w}{d r}=144r^{3}s +54r^{2}s^{2} -24r s^{2} -6 s^{3}
\frac{d w}{d s}=36r^{4} +36r^{3}s -24r^{2}s -18r s^{2}

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