Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As informações dadas são:
-
. -
. -
. -
.
As duas quantidades solicitadas são:
Passo 2
Explicando a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis (aula rápida e prática). Se
e
,
,
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui
significa: derivar
supondo
e
constantes, e análogo para as outras parciais. A mesma forma vale para
trocando
por
:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
. Como
, ao derivar em relação a uma variável tratamos as outras como constantes:
Explicação breve: por exemplo
vê
como
, então a derivada é
.
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
(essas são simples porque
são dadas explicitamente):
Comentário: derivada de
é
;
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Substituindo as parciais calculadas:
Factorizando
(para ficar mais legível):
Passo 6
Agora substituir
,
,
para obter a expressão em termos de
e
. Primeiro expandir cada termo dentro dos parênteses:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Somando esses três resultados:
Multiplicando por
:
Passo 7
Calcular as derivadas de
em relação a
:
Comentário: ao derivar
em relação a
obtemos
.
Passo 8
Aplicar a regra da cadeia para
:
Factorizando
:
Passo 9
Substituir
,
,
e expandir os termos:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Somando:
Multiplicando por
: