Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
\frac{d w}{d u}, \quad \frac{d w}{d v}, se w=2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}, \quad x=u \cos v, y=u \operatorname{sen} v, z=u v.

Passo 1

O enunciado pede duas derivadas: \dfrac{dw}{du} e \dfrac{dw}{dv}. As informações dadas são:
  • w=2x^{2}+3y^{2}+z^{2}.
  • x=u\cos v.
  • y=u\sin v.
  • z=uv.

Passo 2

Regra da cadeia para funções compostas (caso com várias variáveis): se w=w(x,y,z) e x=x(u,v),\,y=y(u,v),\,z=z(u,v), então
\frac{dw}{du}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial u},
\frac{dw}{dv}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial v}.
Explicando bem: \dfrac{\partial w}{\partial x} significa a derivada de w em relação a x mantendo y,z fixos; \dfrac{\partial x}{\partial u} é a derivada de x em relação a u mantendo v fixo, etc. A regra soma os efeitos indiretos de u (ou v) sobre w passando por cada variável intermediária x,y,z.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de w em relação a x,y,z. Como w=2x^{2}+3y^{2}+z^{2},
\frac{\partial w}{\partial x}=4x, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=6y, \qquad \frac{\partial w}{\partial z}=2z.
Aqui usei a regra da potência: se f(t)=at^{2} então f'(t)=2at.

Passo 4

Derivar x,y,z em relação a u (mantendo v fixo):
x=u\cos v \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial u}=\cos v,
y=u\sin v \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial u}=\sin v,
z=uv \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial u}=v.

Passo 5

Derivar x,y,z em relação a v (mantendo u fixo):
x=u\cos v \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial v}=-u\sin v,
y=u\sin v \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial v}=u\cos v,
z=uv \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial v}=u.

Passo 6

Agora montamos \dfrac{dw}{du} usando a fórmula da regra da cadeia e substituímos as derivadas que já calculamos:
\frac{dw}{du}=(4x)(\cos v)+(6y)(\sin v)+(2z)(v).
Substituindo x=u\cos v, y=u\sin v, z=uv:
\frac{dw}{du}=4(u\cos v)\cos v+6(u\sin v)\sin v+2(uv)v.
Fazendo as multiplicações:
\frac{dw}{du}=4u\cos^{2}v+6u\sin^{2}v+2u v^{2}.
Podemos fatorar u:
\frac{dw}{du}=u\bigl(4\cos^{2}v+6\sin^{2}v+2v^{2}\bigr).
Uma forma alternativa, reduzindo 4\cos^{2}v+6\sin^{2}v=4(\cos^{2}v+\sin^{2}v)+2\sin^{2}v=4+2\sin^{2}v, é
\frac{dw}{du}=u\bigl(4+2\sin^{2}v+2v^{2}\bigr)=2u\bigl(2+\sin^{2}v+v^{2}\bigr).

Passo 7

Agora montamos \dfrac{dw}{dv}:
\frac{dw}{dv}=(4x)(-u\sin v)+(6y)(u\cos v)+(2z)(u).
Substituindo x=u\cos v, y=u\sin v, z=uv:
\frac{dw}{dv}=4(u\cos v)(-u\sin v)+6(u\sin v)(u\cos v)+2(uv)u.
Simplificando termo a termo:
\frac{dw}{dv}=-4u^{2}\cos v\sin v+6u^{2}\sin v\cos v+2u^{2}v.
Combine os dois primeiros termos (têm fator comum u^{2}\sin v\cos v): (-4+6)=2, então
\frac{dw}{dv}=2u^{2}\sin v\cos v+2u^{2}v.
Fatorando 2u^{2}:
\frac{dw}{dv}=2u^{2}\bigl(\sin v\cos v+v\bigr).
Uma outra forma trigonométrica é usar \sin v\cos v=\tfrac{1}{2}\sin(2v), obtendo
\frac{dw}{dv}=u^{2}\bigl(\sin(2v)+2v\bigr),
se preferir essa escrita.

Passo 8

Revisão rápida: as duas derivadas foram obtidas aplicando a regra da cadeia somando os efeitos por x,y,z, calculando as parciais de w e as derivadas de x,y,z em relação a u e v, e simplificando. Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa esses passos e treina mais um exemplo parecido.

Resposta

\displaystyle \frac{dw}{du}=4u\cos^{2}v+6u\sin^{2}v+2u v^{2}=2u\bigl(2+\sin^{2}v+v^{2}\bigr)
\displaystyle \frac{dw}{dv}=2u^{2}\sin v\cos v+2u^{2}v=2u^{2}\bigl(\sin v\cos v+v\bigr)=u^{2}\bigl(\sin(2v)+2v\bigr)

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