Use a regra da cadeia para encontrar cada derivada.
, se
.
Passo 1
O enunciado pede duas derivadas:
e
. As informações dadas são:
-
. -
. -
. -
.
Passo 2
Regra da cadeia para funções compostas (caso com várias variáveis): se
e
, então
Explicando bem:
significa a derivada de
em relação a
mantendo
fixos;
é a derivada de
em relação a
mantendo
fixo, etc. A regra soma os efeitos indiretos de
(ou
) sobre
passando por cada variável intermediária
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
. Como
,
Aqui usei a regra da potência: se
então
.
Passo 4
Derivar
em relação a
(mantendo
fixo):
Passo 5
Derivar
em relação a
(mantendo
fixo):
Passo 6
Agora montamos
usando a fórmula da regra da cadeia e substituímos as derivadas que já calculamos:
Substituindo
,
,
:
Fazendo as multiplicações:
Podemos fatorar
:
Uma forma alternativa, reduzindo
, é
Passo 7
Agora montamos
:
Substituindo
,
,
:
Simplificando termo a termo:
Combine os dois primeiros termos (têm fator comum
):
, então
Fatorando
:
Uma outra forma trigonométrica é usar
, obtendo
se preferir essa escrita.
Passo 8
Revisão rápida: as duas derivadas foram obtidas aplicando a regra da cadeia somando os efeitos por
, calculando as parciais de
e as derivadas de
em relação a
e
, e simplificando. Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa esses passos e treina mais um exemplo parecido.