Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado w=x y z^{2}, x=e^{t}, y=t-1, z=e^{-t}. Encontre \frac{d w}{d t}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a derivada pedida:
Função original em termos de variáveis auxiliares: w = x\,y\,z^{2}.
Relações que expressam x,y,z em função de t:x = e^{t},\quad y = t-1,\quad z = e^{-t}.
Pergunta: encontrar \dfrac{dw}{dt}.
Passo 2
Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A ideia: quando w depende de x,y,z e cada uma dessas depende de t, a derivada total de w em relação a t é a soma das contribuições de cada caminho de dependência. A fórmula é
\dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada parcial de w em relação a x, tratando y e z como constantes.
\dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t, e o mesmo para y e z.
Não se preocupe: vamos calcular cada termo passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de w=x\,y\,z^{2}, lembrando que em uma derivada parcial tratamos as demais variáveis como constantes.
Para \dfrac{\partial w}{\partial x}: como w é x multiplicado por y z^{2}, tratando y e z como constantes,
\frac{\partial w}{\partial x}=y\,z^{2}.
Para \dfrac{\partial w}{\partial y}: similarmente,
\frac{\partial w}{\partial y}=x\,z^{2}.
Para \dfrac{\partial w}{\partial z}: aqui usamos a regra do produto/potência para z^{2}. w=x y z^{2} visto como função de z com x,y constantes tem derivada