Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado w=x y z^{2}, x=e^{t}, y=t-1, z=e^{-t}. Encontre \frac{d w}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a derivada pedida:
  • Função original em termos de variáveis auxiliares: w = x\,y\,z^{2}.
  • Relações que expressam x,y,z em função de t: x = e^{t},\quad y = t-1,\quad z = e^{-t}.
  • Pergunta: encontrar \dfrac{dw}{dt}.

Passo 2

Vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A ideia: quando w depende de x,y,z e cada uma dessas depende de t, a derivada total de w em relação a t é a soma das contribuições de cada caminho de dependência. A fórmula é
\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada parcial de w em relação a x, tratando y e z como constantes.
  • \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t, e o mesmo para y e z.
Não se preocupe: vamos calcular cada termo passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de w=x\,y\,z^{2}, lembrando que em uma derivada parcial tratamos as demais variáveis como constantes.
  • Para \dfrac{\partial w}{\partial x}: como w é x multiplicado por y z^{2}, tratando y e z como constantes,
    \frac{\partial w}{\partial x}=y\,z^{2}.
  • Para \dfrac{\partial w}{\partial y}: similarmente,
    \frac{\partial w}{\partial y}=x\,z^{2}.
  • Para \dfrac{\partial w}{\partial z}: aqui usamos a regra do produto/potência para z^{2}. w=x y z^{2} visto como função de z com x,y constantes tem derivada
    \frac{\partial w}{\partial z}=x\,y\cdot 2z = 2\,x\,y\,z.

Passo 4

Calcular as derivadas de x,y,z em relação a t.
  • \dfrac{dx}{dt}, com x=e^{t}: derivada de e^{t} é e^{t}, então
    \frac{dx}{dt}=e^{t}.
  • \dfrac{dy}{dt}, com y=t-1: derivada de t-1 é 1, então
    \frac{dy}{dt}=1.
  • \dfrac{dz}{dt}, com z=e^{-t}: derivada de e^{-t} é -e^{-t} (pela regra da cadeia simples), então
    \frac{dz}{dt}=-e^{-t}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da Regra da Cadeia e substituir as derivadas parciais e as derivadas de x,y,z:
\frac{dw}{dt} = \underbrace{y\,z^{2}}_{\partial w/\partial x}\cdot\underbrace{e^{t}}_{dx/dt} + \underbrace{x\,z^{2}}_{\partial w/\partial y}\cdot\underbrace{1}_{dy/dt} + \underbrace{2x y z}_{\partial w/\partial z}\cdot\underbrace{(-e^{-t})}_{dz/dt}.
Agora vamos substituir x=e^{t}, y=t-1, z=e^{-t} e simplificar termo a termo.
  • Primeiro termo:
    y\,z^{2}\,e^{t}=(t-1)\,(e^{-t})^{2}\,e^{t}=(t-1)\,e^{-2t}\,e^{t}=(t-1)\,e^{-t}.
  • Segundo termo:
    x\,z^{2}\cdot 1 = e^{t}\,(e^{-t})^{2}=e^{t}\,e^{-2t}=e^{-t}.
  • Terceiro termo:
    2x y z \cdot(-e^{-t}) = -2\,x y z\,e^{-t}.
    Mas x y z = e^{t}\,(t-1)\,e^{-t}=(t-1), porque e^{t}e^{-t}=1. Então
    -2\,x y z\,e^{-t} = -2\,(t-1)\,e^{-t}.
Somando os três termos:
\frac{dw}{dt}=\bigl((t-1)\,e^{-t}\bigr)+\bigl(e^{-t}\bigr)+\bigl(-2\,(t-1)\,e^{-t}\bigr).
Fatorando e^{-t}:
\frac{dw}{dt}=\bigl((t-1)+1-2(t-1)\bigr)\,e^{-t}.
Simplificando o coeficiente:
(t-1)+1-2(t-1)=t-1+1-2t+2= -t+2 = 2-t.
Portanto
\frac{dw}{dt}=(2-t)\,e^{-t}.

Passo 6

(Vale como checagem rápida — não precisa decorar, só para ver que bate.) Substituindo diretamente x,y,z em w:
w(t)=x y z^{2}=e^{t}(t-1)(e^{-t})^{2}=(t-1)\,e^{-t}.
Derivando diretamente:
\frac{d}{dt}\bigl((t-1)e^{-t}\bigr)=1\cdot e^{-t}+(t-1)\cdot(-e^{-t})=(2-t)\,e^{-t},
o mesmo resultado — perfeito!

Resposta

(2-t)\,e^{-t}

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