Use a regra da cadeia para encontrar partial wpartial s, quando s=4 e t=0
w=x^2+y^2+z^2, x=s t, y=s cdot cost e z=s cdot sent
Resposta: square

Passo 1

O enunciado pede para calcular partial wpartial s usando a regra da cadeia, onde w=x^2+y^2+z^2 e as variáveis dependem de s e t. Precisamos usar derivadas parciais e a forma geral da regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Escrevemos a regra da cadeia: partial wpartial s = partial wpartial xpartial xpartial s + partial wpartial ypartial ypartial s + partial wpartial zpartial zpartial s.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: como w=x^2+y^2+z^2, temos partial wpartial x=2x, partial wpartial y=2y e partial wpartial z=2z. E das definições x=st, y=scos t e z=ssin t tiramos partial xpartial s=t, partial ypartial s=cos t e partial zpartial s=sin t.

Passo 4

Agora avaliamos em s=4 e t=0: primeiro calculamos x=4cdot0=0, y=4cdotcos0=4 e z=4cdotsin0=0. Substituindo em partial wpartial s=2x,t + 2y,cos t + 2z,sin t ficamos com partial wpartial s=2cdot0cdot0 + 2cdot4cdot1 + 2cdot0cdot0 =8.

Resposta

8

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