GRUPO 02- DERIVADAS (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
Calcule f^prime(x), onde f(x)=2 x e^x-1raizx+x^39(3 ln x-1)+tg x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Vamos usar o conteúdo de Derivadas, especificamente as regras de derivação para funções básicas e combinações delas. Precisaremos conhecer a derivada de exponenciais, logaritmos, potências e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar derivando o primeiro termo: ddx(2x e^x) = 2 cdot e^x + 2x cdot e^x = 2 e^x + 2x e^x .
Aqui aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo: ddx(-x^-1/2) = -(-12) x^-3/2 = 12 x^-3/2 = 12 x^3/2 .
Primeiro, reescrevemos como . A Regra do Poder nos diz que .
Então:

Passo 4

Vamos derivar o terceiro termo: 19 cdot x^3(3 ln x - 1) .
Primeiro, podemos fatorar a constante ddx ( x^3(3 ln x - 1) ) = 3x^2(3 ln x - 1) + x^3 cdot 3x = 3x^2(3 ln x - 1) + 3x^2 :
19 ( 3x^2(3 ln x - 1) + 3x^2 ) = x^23(3 ln x - 1) + x^23 = x^2 ln x - x^23 + x^23 = x^2 ln x
Aplicamos novamente a Regra do Produto para e :
Multiplicando pela constante :

Passo 5

Por último, vamos derivar o quarto termo: ddx(tan x) = sec^2x .
Sabemos que a derivada de é .
Então:

Resposta

Juntando todas as derivadas, temos:
f^prime(x) = 2 e^x + 2x e^x + 12 x^3/2 + x^2 ln x + sec^2x

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