GRUPO 01- LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
Calcule lim x -1^+ x^2-5 x-10x^2-x-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função quando se aproxima de pela direita ( ). Isso está relacionado aos conceitos de limites e continuidade de funções, que são fundamentais para entender como as funções se comportam perto de certos pontos. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador da fração conforme se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x^2 - x - 2 = (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 diretamente na função para verificar se ela está definida nesse ponto.
Calculando o denominador:
Vimos que o denominador se anula quando , o que significa que a função não está definida nesse ponto. Isso indica que podemos ter uma descontinuidade ali, e precisamos investigar como a função se comporta próximo a .

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite pelo lado direito ( x^2 - 5x - 10 ). Para isso, vamos considerar valores de (-1)^2 - 5(-1) - 10 = 1 + 5 - 10 = -4 que estão um pouquinho maiores que , como , , etc., e ver o que acontece com o numerador e o denominador.
Calculando o numerador:
Substituindo :
O numerador se aproxima de quando se aproxima de .

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador perto de x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) . Podemos fatorar o denominador para entender melhor seu comportamento:
Ao se aproximar de pela direita ( ), o fator está se aproximando de zero positivo, já que está um pouco maior que . Já o fator é negativo porque está muito menor que . Assim, o denominador está se aproximando de zero a partir de valores negativos.

Passo 5

Com o numerador se aproximando de limx -1^+ x^2 - 5x - 10x^2 - x - 2 = -40^- e o denominador se aproximando de (zero vindo de valores negativos), temos:
Quando dividimos um número negativo por um número que está se aproximando de zero negativo, o resultado tende para . Isso porque a divisão de dois números negativos dá um resultado positivo, e estamos dividindo por um número cada vez menor, o que aumenta o valor do quociente sem limite.

Resposta

limx -1^+ x^2 - 5x - 10x^2 - x - 2 = +infty

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