Use a Regra da Cadeia para determinar a derivada parcial indicada.
z=y^2 tg x, x=t^2 u v, y=u+t v^2 partial zpartial v, quando t=2, u=1 e v=0
Resposta:

Passo 1

O enunciado dá uma função composta z=y² tg x, com x e y dependentes de (t,u,v). Vamos usar Regra da Cadeia para calcular ∂z/∂v em t=2, u=1, v=0.

Passo 2

Precisamos das derivadas parciais de z em relação a x e y. Como z=y² tan x, temos:
partial zpartial y=2ytan x,
partial zpartial x=y^2sec^2 x

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a v. Como x=t²u v e y=u+t v², vem:
partial xpartial v=t^2u,
partial ypartial v=2tv

Passo 4

Aplicamos a Regra da Cadeia:
partial zpartial v=partial zpartial ypartial ypartial v+partial zpartial xpartial xpartial v

Passo 5

Agora avaliamos em t=2, u=1, v=0. Primeiro x=2²·1·0=0 e y=1+2·0²=1. Substituindo:
partial zpartial v=l(2cdot1tan0r),(2cdot2cdot0)+l(1^2sec^2 0r),(2^2cdot1)=0+4=4

Resposta

4

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