Use a regra da cadeia nos exercícios abaixo:
Se w=u^{2}+2 u v ; u=r \ln s, v=2 r+s determine \frac{\partial w}{\partial r} e \frac{\partial w}{\partial s}

Passo 1

O enunciado define
w = u^2 + 2\,u\,v,
com as mudanças de variável
u = r \ln s, \quad v = 2r + s.
O objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar \frac{\partial w}{\partial r} e \frac{\partial w}{\partial s}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de w em relação a u e v:
\frac{\partial w}{\partial u} = 2u + 2v, \qquad \frac{\partial w}{\partial v} = 2u.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u e v em relação a r:
\frac{\partial u}{\partial r} = \ln s, \qquad \frac{\partial v}{\partial r} = 2.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para \frac{\partial w}{\partial r}:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial r} = \bigl(2u+2v\bigr)\ln s + (2u)\cdot 2.
Substituindo u = r\ln s e v = 2r+s,
\frac{\partial w}{\partial r} = \bigl(2r\ln s + 2(2r+s)\bigr)\ln s + 4\,r\ln s = \bigl(2r\ln s +4r+2s\bigr)\ln s + 4r\ln s.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de u e v em relação a s:
\frac{\partial u}{\partial s} = r\cdot\frac{1}{s} = \frac{r}{s}, \qquad \frac{\partial v}{\partial s} = 1.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia para \frac{\partial w}{\partial s}:
\frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial w}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial s} = \bigl(2u+2v\bigr)\frac{r}{s} + (2u)\cdot1.
Substituindo u = r\ln s e v = 2r+s,
\frac{\partial w}{\partial s} = \bigl(2r\ln s +4r+2s\bigr)\frac{r}{s} + 2r\ln s.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial r} = \bigl(2r\ln s +4r+2s\bigr)\ln s + 4r\ln s, \qquad \frac{\partial w}{\partial s} = \bigl(2r\ln s +4r+2s\bigr)\frac{r}{s} + 2r\ln s.

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