Use a regra da cadeia nos exercícios abaixo:
Se w=u^{2}+2 u v ; u=r \ln s, v=2 r+s determine \frac{\partial w}{\partial r} e \frac{\partial w}{\partial s}

Passo 1

O enunciado define a função composta
w = u^{2} + 2\,u\,v,
onde
u = r \ln s, \quad v = 2\,r + s.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais: queremos \frac{\partial w}{\partial r} e \frac{\partial w}{\partial s}.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de w em relação a u e a v:
\frac{\partial w}{\partial u} = 2\,u + 2\,v, \quad \frac{\partial w}{\partial v} = 2\,u.

Passo 3

Em seguida, obtemos as derivadas parciais de u e de v em relação a r e s:
\frac{\partial u}{\partial r} = \ln s, \quad \frac{\partial u}{\partial s} = \frac{r}{s},
\frac{\partial v}{\partial r} = 2, \quad \frac{\partial v}{\partial s} = 1.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial r} = (2\,u + 2\,v)\,\ln s \;+\; 2\,u\cdot 2.
Substituindo u = r\ln s e v = 2r + s, fica
\frac{\partial w}{\partial r} = 2\bigl(r\ln s + 2r + s\bigr)\ln s \;+\; 4\,r\ln s.

Passo 5

De modo análogo,
\frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial w}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial v}\,\frac{\partial v}{\partial s} = (2\,u + 2\,v)\,\frac{r}{s} \;+\; 2\,u.
Substituindo u = r\ln s e v = 2r + s, obtemos
\frac{\partial w}{\partial s} = 2\bigl(r\ln s + 2r + s\bigr)\,\frac{r}{s} \;+\; 2\,r\ln s.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r} = 2\bigl(r\ln s + 2r + s\bigr)\ln s + 4\,r\ln s, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial s} = 2\bigl(r\ln s + 2r + s\bigr)\frac{r}{s} + 2\,r\ln s.

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