Use a “Regra dos dois caminhos” para mostrar que os limites indicados abaixo não existem
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a Regra dos dois caminhos para mostrar que o limite
não existe. Isso envolve entender o conceito de limites em funções de duas variáveis e verificar se o resultado do limite muda quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e a ideia de que, se o limite depender do caminho escolhido, ele não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite para facilitar a análise. Observamos que o numerador é
e o denominador é
. Vamos tentar entender o comportamento dessa função quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
e calcular o limite em cada um deles. Se encontrarmos limites diferentes, isso provará que o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro Caminho: Vamos nos aproximar de
ao longo da linha
. Isso significa que
é sempre 2, e
se aproxima de 1.
Substituindo
na função, temos:
Aqui, o denominador se torna zero, o que sugere que a função tende ao infinito ou não está definida ao longo desse caminho.
Passo 5
Segundo Caminho: Agora, vamos nos aproximar de
ao longo da linha
. Isso significa que
é sempre 1, e
se aproxima de 2.
Substituindo
na função, temos:
Novamente, o denominador é zero, indicando que a função tende ao infinito ou não está definida ao longo desse caminho.
Passo 6
Os dois caminhos que escolhemos resultaram em uma indeterminação, mas vamos tentar outro par de caminhos para verificar se conseguimos limites diferentes.
Terceiro Caminho: Vamos nos aproximar de
pela linha
. Substituindo essa relação na função:
Aqui, o limite é
.
Quarto Caminho: Vamos nos aproximar de
pela linha
. Substituindo essa relação na função:
Aqui, o limite é
.
Resposta
Como encontramos limites diferentes (
e
) ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes, concluímos que o limite
não existe.