Use a “Regra dos dois caminhos” para mostrar que os limites indicados abaixo não existem
lim (x, y) (1,2) (-2 x+y)^2(x-1)(y-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos a Regra dos dois caminhos para mostrar que o limite
lim (x, y) (1,2) (-2 x+y)^2(x-1)(y-2)
não existe. Isso envolve entender o conceito de limites em funções de duas variáveis e verificar se o resultado do limite muda quando nos aproximamos do ponto (1,2) por diferentes caminhos. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e a ideia de que, se o limite depender do caminho escolhido, ele não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite para facilitar a análise. Observamos que o numerador é ( -2x + y )^2 e o denominador é (x - 1)(y - 2). Vamos tentar entender o comportamento dessa função quando (x, y) se aproxima de (1,2).

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de (1,2) e calcular o limite em cada um deles. Se encontrarmos limites diferentes, isso provará que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro Caminho: Vamos nos aproximar de (1,2) ao longo da linha y = 2. Isso significa que y é sempre 2, e x se aproxima de 1.
Substituindo y = 2 na função, temos:
(-2x + 2)^2(x - 1)(2 - 2) = (-2x + 2)^2(x - 1)(0)
Aqui, o denominador se torna zero, o que sugere que a função tende ao infinito ou não está definida ao longo desse caminho.

Passo 5

Segundo Caminho: Agora, vamos nos aproximar de (1,2) ao longo da linha x = 1. Isso significa que x é sempre 1, e y se aproxima de 2.
Substituindo x = 1 na função, temos:
(-2(1) + y)^2(1 - 1)(y - 2) = (-2 + y)^20 cdot (y - 2) = (y - 2)^20
Novamente, o denominador é zero, indicando que a função tende ao infinito ou não está definida ao longo desse caminho.

Passo 6

Os dois caminhos que escolhemos resultaram em uma indeterminação, mas vamos tentar outro par de caminhos para verificar se conseguimos limites diferentes.
Terceiro Caminho: Vamos nos aproximar de (1,2) pela linha y = -2x + 4. Substituindo essa relação na função:
(-2x + (-2x + 4))^2(x - 1)((-2x + 4) - 2) = (-4x + 4)^2(x - 1)(-2x + 2) = 16(x - 1)^2(x - 1)(-2)(x - 1) = 16(x - 1)^2-2(x - 1)^2 = -8
Aqui, o limite é -8.
Quarto Caminho: Vamos nos aproximar de (1,2) pela linha y = 2x. Substituindo essa relação na função:
(-2x + 2x)^2(x - 1)(2x - 2) = 0^2(x - 1)(2(x - 1)) = 02(x - 1)^2 = 0
Aqui, o limite é 0.

Resposta

Como encontramos limites diferentes ( -8 e 0) ao nos aproximarmos de (1,2) por caminhos diferentes, concluímos que o limite
lim (x, y) (1,2) (-2 x+y)^2(x-1)(y-2)
não existe.

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