Use a “Regra dos dois caminhos” para mostrar que os limites indicados abaixo não existem
lim (x, y) (0,0) x^3 yx^5+y^3

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Queremos estudar o limite
lim(x,y)to(0,0) x^3yx^5+y^3
para ver se existe. O conteúdo é “Regra dos dois caminhos”, que diz: se ao longo de duas trajetórias distintas chegamos a resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 2

Limite ao longo de uma reta y=mx: Substituindo y=mx em f(x,y), temos
f(x,mx)=x^3cdot(mx)x^5+(mx)^3=m,x^4x^5+m^3x^3
Podemos fatorar x^3 no denominador:
m,x^4x^3(x^2+m^3)=m,xx^2+m^3
Como x\to0, o numerador vai a 0 e o denominador a m^3\neq0, logo
limxto0m,xx^2+m^3=0
Ou seja, ao longo de qualquer reta y=mx o limite é 0.

Passo 3

Limite ao longo da curva y=x^{5/3}: Nesta trajetória, y3=x5, então
fl(x,x^5/3r)=x^3,x^5/3x^5+x^5=x^14/32x^5= frac12,x^143-5=tfrac12,x^-1/3
Quando x\to0^+ isso explode para +∞, pois x^{-1/3}\to+∞.

Passo 4

Conclusão pela regra dos dois caminhos: obtivemos 0 ao longo das retas y=mx e +∞ ao longo de y=x^{5/3}. Como os dois resultados são diferentes, o limite não existe.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)x^3yx^5+y^3 não existe.

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