Os dois lados paralelos de um retângulo são esticados uniformemente a uma taxa constante de
, enquanto os outros dois lados paralelos são comprimidos uniformemente a uma taxa constante de modo que a figura permaneça um retângulo de área
. Qual taxa de variação do perímetro
do retângulo quando o comprimento de um dos lados que está crescendo é:
(a) 5 cm ?
(b) 10 cm ?
© Quais são as dimensões para as quais o perímetro deixa de diminuir?
(a) 5 cm ?
(b) 10 cm ?
© Quais são as dimensões para as quais o perímetro deixa de diminuir?
Passo 1
Vamos resumir o que o problema pede e qual conteúdo vamos usar. Temos um retângulo com lados paralelos de comprimentos
e
. Sabemos que
cresce a
, enquanto
muda de modo que a área permaneça constante em
. Queremos a taxa de variação do perímetro
em situações específicas e descobrir quando o perímetro deixa de diminuir.
Passo 2
Para manter a área
constante, derivamos em relação a
:
Como
, isolamos
:
Passo 3
O perímetro é
. Derivando:
Passo 4
(a) Quando
, a área fixa dá
. Substituindo em
:
Passo 5
(b) Quando
, então
. Logo:
Passo 6
© O perímetro deixa de diminuir quando
. Da fórmula
Como também
, temos
e portanto
Resposta
(a)
; (b)
; © Os lados são ambos
.