Os dois lados paralelos de um retângulo são esticados uniformemente a uma taxa constante de 2 cm / s, enquanto os outros dois lados paralelos são comprimidos uniformemente a uma taxa constante de modo que a figura permaneça um retângulo de área 50 cm^2. Qual taxa de variação do perímetro P do retângulo quando o comprimento de um dos lados que está crescendo é:
(a) 5 cm ?
(b) 10 cm ?
© Quais são as dimensões para as quais o perímetro deixa de diminuir?

Passo 1

Vamos resumir o que o problema pede e qual conteúdo vamos usar. Temos um retângulo com lados paralelos de comprimentos x(t) e y(t). Sabemos que x cresce a 2,cm/s, enquanto y muda de modo que a área permaneça constante em 50,cm^2. Queremos a taxa de variação do perímetro P=2(x+y) em situações específicas e descobrir quando o perímetro deixa de diminuir.

Passo 2

Para manter a área A=x,y=50 constante, derivamos em relação a t:
ddt(x,y)=xdydt+ydxdt=0
Como dxdt=2, isolamos dydt:
dydt=-yxdxdt=-2yx

Passo 3

O perímetro é P=2(x+y). Derivando:
dPdt=2l(dxdt+dydtr) =2l(2-2yxr) =4-4yx

Passo 4

(a) Quando x=5, a área fixa dá y=50/5=10. Substituindo em dP/dt:
dPdt=4-4cdot105=4-8=-4,cm/s

Passo 5

(b) Quando x=10, então y=50/10=5. Logo:
dPdt=4-4cdot510=4-2=2,cm/s

Passo 6

© O perímetro deixa de diminuir quando dP/dt=0. Da fórmula
4-4yx=0Longrightarrow y=x
Como também xy=50, temos x^2=50 e portanto
x=y=5raiz2,cm

Resposta

(a) -4,cm/s; (b) +2,cm/s; © Os lados são ambos 5raiz2,cm.

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