Mostre que a sequência a_{n}=\frac{\sin (n)+\cos (n)}{\sqrt{n}} é limitada. Especifique um limite inferior e um superior para os termos da sequência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
a_{n} = \frac{\sin(n) + \cos(n)}{\sqrt{n}}
é limitada. Para isso, vamos obter cotas para o numerador usando propriedades trigonométricas e depois dividir por \sqrt{n}, lembrando que para n\ge1 vale \sqrt{n}\ge1.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin(n)+\cos(n)=\sqrt{2}\,\sin\!\bigl(n+\tfrac{\pi}{4}\bigr),
e como \sin varia entre -1 e 1, segue que
-\,\sqrt{2}\;\le\;\sin(n)+\cos(n)\;\le\;\sqrt{2}.

Passo 3

Para n\ge1 temos \sqrt{n}\ge1, logo
\bigl|a_n\bigr| = \left|\frac{\sin(n)+\cos(n)}{\sqrt{n}}\right| \le \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \le \sqrt{2}.
Isto implica
-\,\sqrt{2}\;\le\;a_n\;\le\;\sqrt{2} \quad\text{para todo }n.

Resposta

Como limites da sequência podemos tomar
\text{limite inferior } = -\sqrt{2}, \qquad \text{limite superior } = \sqrt{2}.

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