Use a Regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir:
a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{5 x}
Mostre todo o processo de resolução, aplicando a regra corretamente.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite usando a Regra de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{5x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função no numerador é f(x)=e^{x}-1.
  • A função no denominador é g(x)=5x.
  • É pedido o valor do limite quando x tende a 0, aplicando corretamente a Regra de L’Hospital e mostrando todo o processo.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao avaliar numerador e denominador em x=0:
\lim_{x\to 0} (e^{x}-1)=e^{0}-1=1-1=0, \qquad \lim_{x\to 0} 5x=5\cdot 0=0.
Portanto o quociente tem a forma \tfrac{0}{0}, que é uma das formas indeterminadas onde a Regra de L’Hospital pode ser aplicada (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).

Passo 3

Enunciado e hipóteses da Regra de L’Hospital (versão usada aqui, em linguagem simples):
Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto contendo 0 (exceto possivelmente em 0 propriamente dito), e se
\lim_{x\to 0} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0} g(x)=0,
e se o limite
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
No nosso caso, f(x)=e^{x}-1 e g(x)=5x são diferenciáveis em todo \mathbb{R}, logo as hipóteses locais em torno de 0 estão satisfeitas. Assim podemos aplicar a regra.

Passo 4

Calcular as derivadas do numerador e do denominador, explicando bem:
  • Derivada de f(x)=e^{x}-1: a derivada da função exponencial é ela própria, e a derivada da constante -1 é 0. Portanto
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-1\bigr)=e^{x}.
  • Derivada de g(x)=5x: é a constante multiplicada por x, então a derivada é a constante:
g'(x)=\frac{d}{dx}(5x)=5.
Lembrete didático rápido: derivar e^{x} e^{x}. Derivar ax (com a constante) dá a.

Passo 5

Aplicar a Regra de L’Hospital substituindo pelo quociente das derivadas e calcular o limite:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{5x} =\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{5}.
Como e^{x} é contínua, basta substituir x=0 para avaliar o limite:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{5}=\frac{e^{0}}{5}=\frac{1}{5}.

Passo 6

Verificação rápida (intuição extra, sem substituir a aplicação da regra): usando a expansão em série de Taylor de e^{x} em torno de 0,
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots,
temos
\frac{e^{x}-1}{5x}=\frac{x+\dfrac{x^{2}}{2}+\cdots}{5x}=\frac{1}{5}+\frac{x}{10}+\cdots,
que também confirma que quando x\to 0 o quociente tende para \dfrac{1}{5}. Isto é só um cheque adicional — a solução principal foi pela Regra de L’Hospital.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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