Use a Regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir:
a)
Mostre todo o processo de resolução, aplicando a regra corretamente.
a)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite usando a Regra de L’Hospital:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - É pedido o valor do limite quando
tende a , aplicando corretamente a Regra de L’Hospital e mostrando todo o processo.
Passo 2
Verificar a forma indeterminada ao avaliar numerador e denominador em
:
Portanto o quociente tem a forma
, que é uma das formas indeterminadas onde a Regra de L’Hospital pode ser aplicada (desde que as hipóteses sejam satisfeitas).
Passo 3
Enunciado e hipóteses da Regra de L’Hospital (versão usada aqui, em linguagem simples):
Sejam e
funções diferenciáveis num intervalo aberto contendo
(exceto possivelmente em
propriamente dito), e se
Sejam
e se o limite
existe (ou é
), então
No nosso caso,
e
são diferenciáveis em todo
, logo as hipóteses locais em torno de
estão satisfeitas. Assim podemos aplicar a regra.
Passo 4
Calcular as derivadas do numerador e do denominador, explicando bem:
- Derivada de
: a derivada da função exponencial é ela própria, e a derivada da constante é . Portanto
- Derivada de
: é a constante multiplicada por , então a derivada é a constante:
Lembrete didático rápido: derivar
dá
. Derivar
(com
constante) dá
.
Passo 5
Aplicar a Regra de L’Hospital substituindo pelo quociente das derivadas e calcular o limite:
Como
é contínua, basta substituir
para avaliar o limite:
Passo 6
Verificação rápida (intuição extra, sem substituir a aplicação da regra): usando a expansão em série de Taylor de
em torno de
,
temos
que também confirma que quando
o quociente tende para
. Isto é só um cheque adicional — a solução principal foi pela Regra de L’Hospital.