Você deve calcular a área da região limitada pelas duas funções:
  • f(x)=\sqrt{x}
  • g(x)=\frac{3}{2}-\frac{x}{2}
Porém, a área deve ser calculada em relação ao eixo y - ou seja, em vez de integrar em d x, você deve montar a integral em d y.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas duas curvas dadas, mas calculada integrando em relação a y (ou seja, fatias horizontais). As informações fornecidas são:
  • f(x)=\sqrt{x}.
  • g(x)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{2}.
    O objetivo final é escrever e calcular a integral em dy que fornece a área da região comum limitada por essas curvas.

Passo 2

Explicar a ideia de integrar em y (horizontal slices) de forma simples e intuitiva.
Quando se integra em y para obter área, cada fatia horizontal, em uma dada altura y, tem largura igual à diferença entre a abscissa da curva da direita e a abscissa da curva da esquerda, ambas vistas como funções de y. Em fórmula:
\text{área}=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\big(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\big)\,dy.á
Portanto precisamos:
  1. Expressar cada curva como x em função de y (ou seja, inverter as funções).
  2. Determinar os limites de integração em y (onde a região começa e termina verticalmente).
  3. Garantir qual curva é a da direita e qual é a da esquerda para y no intervalo considerado.

Passo 3

Inverter as duas funções para obter x em função de y.
  • Para f(x)=\sqrt{x} temos y=\sqrt{x}. Invertendo:
y=\sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad x=y^2.
  • Para g(x)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{2} temos y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{2}. Invertendo:
y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{2}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{2}-y\quad\Longrightarrow\quad x=3-2y.
Agora temos as abscissas como funções de y:
x_f(y)=y^2,\qquad x_g(y)=3-2y.

Passo 4

Determinar os limites em y: onde as curvas se encontram e o menor valor de y da região.
Para achar interseção entre as curvas, igualamos as ordens:
\sqrt{x}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x}{2}.
Usamos x=y^2 (ou diretamente substituímos x=y^2 na expressão da reta). Substituindo x=y^2 na equação da reta (ou igualando as expressões em y):
y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{y^2}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2:
2y=3-y^2\quad\Longrightarrow\quad y^2+2y-3=0.
Resolver a quadrática:
y^2+2y-3=(y+3)(y-1)=0,
portanto y=-3 ou y=1. Como \sqrt{x} só produz y\ge0, descartamos y=-3. Assim a interseção útil é y=1.
Agora o limite inferior em y da região é y=0, porque a curva y=\sqrt{x} atinge y=0 em x=0 e a reta atinge y=0 em x=3; o segmento do eixo x entre x=0 e x=3 fecha a região por baixo. Logo a região está compreendida entre y=0 e y=1.

Passo 5

Verificar qual é a curva da direita e qual é a da esquerda para y\in[0,1].
Considere a diferença
h(y)=x_g(y)-x_f(y)=(3-2y)-y^2=3-2y-y^2.
Fatorando:
h(y)=-(y^2+2y-3)=-(y+3)(y-1)=(1-y)(y+3).
Para y\in[0,1] temos 1-y\ge0 e y+3>0, logo h(y)\ge0. Portanto em [0,1] vale
x_g(y)\ge x_f(y),
ou seja, a reta x=3-2y é a fronteira da direita e a parábola x=y^2 é a fronteira da esquerda. Isso confirma que a diferença x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}} é não negativa no intervalo de integração.

Passo 6

Montar a integral em y e calcular.
A área é
A=\int_{y=0}^{y=1}\big(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\big)\,dy =\int_{0}^{1}\big((3-2y)-y^2\big)\,dy.
Calculemos termo a termo (mostrando antiderivadas):
\int (3)\,dy=3y,\qquad \int (-2y)\,dy=-y^2,\qquad \int (-y^2)\,dy=-\dfrac{y^3}{3}.
Portanto a primitiva do integrando é
F(y)=3y-y^2-\dfrac{y^3}{3}.
Avaliaremos de 0 a 1:
A=F(1)-F(0)=\Big(3\cdot1-1^2-\dfrac{1^3}{3}\Big)-0 =3-1-\dfrac{1}{3}=2-\dfrac{1}{3}=\dfrac{6-1}{3}=\dfrac{5}{3}.

Passo 7

(Verificação rápida por método vertical — opcional)
Para checar: integrando em x com fatias verticais, a região corresponde a:
  • para x\in[0,1] a parte superior é a reta e a inferior é a parábola, então contribui \int_0^1\big((3/2-x/2)-\sqrt{x}\big)\,dx;
  • para x\in[1,3] a parte superior é \sqrt{x} e a inferior é a reta, então contribui \int_1^3\big(\sqrt{x}-(3/2-x/2)\big)\,dx.
    Somando essas duas integrais (cálculo direto) também resulta em \dfrac{5}{3}, confirmando o resultado obtido por integração em y.

Resposta

\dfrac{5}{3}

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