Você deve calcular a área da região limitada pelas duas funções:
-
-
Porém, a área deve ser calculada em relação ao eixo
- ou seja, em vez de integrar em
, você deve montar a integral em
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas duas curvas dadas, mas calculada integrando em relação a
(ou seja, fatias horizontais). As informações fornecidas são:
-
. -
.
O objetivo final é escrever e calcular a integral emque fornece a área da região comum limitada por essas curvas.
Passo 2
Explicar a ideia de integrar em
(horizontal slices) de forma simples e intuitiva.
Quando se integra em
para obter área, cada fatia horizontal, em uma dada altura
, tem largura igual à diferença entre a abscissa da curva da direita e a abscissa da curva da esquerda, ambas vistas como funções de
. Em fórmula:
Portanto precisamos:
- Expressar cada curva como
em função de (ou seja, inverter as funções). - Determinar os limites de integração em
(onde a região começa e termina verticalmente). - Garantir qual curva é a da direita e qual é a da esquerda para
no intervalo considerado.
Passo 3
Inverter as duas funções para obter
em função de
.
- Para
temos . Invertendo:
- Para
temos . Invertendo:
Agora temos as abscissas como funções de
:
Passo 4
Determinar os limites em
: onde as curvas se encontram e o menor valor de
da região.
Para achar interseção entre as curvas, igualamos as ordens:
Usamos
(ou diretamente substituímos
na expressão da reta). Substituindo
na equação da reta (ou igualando as expressões em
):
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolver a quadrática:
portanto
ou
. Como
só produz
, descartamos
. Assim a interseção útil é
.
Agora o limite inferior em
da região é
, porque a curva
atinge
em
e a reta atinge
em
; o segmento do eixo
entre
e
fecha a região por baixo. Logo a região está compreendida entre
e
.
Passo 5
Verificar qual é a curva da direita e qual é a da esquerda para
.
Considere a diferença
Fatorando:
Para
temos
e
, logo
. Portanto em
vale
ou seja, a reta
é a fronteira da direita e a parábola
é a fronteira da esquerda. Isso confirma que a diferença
é não negativa no intervalo de integração.
Passo 6
Montar a integral em
e calcular.
A área é
Calculemos termo a termo (mostrando antiderivadas):
Portanto a primitiva do integrando é
Avaliaremos de
a
:
Passo 7
(Verificação rápida por método vertical — opcional)
Para checar: integrando em com fatias verticais, a região corresponde a:
Para checar: integrando em
- para
a parte superior é a reta e a inferior é a parábola, então contribui ; - para
a parte superior é e a inferior é a reta, então contribui .
Somando essas duas integrais (cálculo direto) também resulta em, confirmando o resultado obtido por integração em .