Informações importantes retiradas do enunciado (pegaram-se desses dados):
A solução deve ser válida para x>0,\;y>0.
A condição sobre o eixo y (quando x=0) é a funçãof(y)=u(0,y)=40\chi_{(0,1)}(y),ou seja f(y)=40 em 0<y<1 e 0 para y>1.
A condição sobre o eixo x (quando y=0) é a funçãog(x)=u(x,0)=80\chi_{(0,1)}(x).
O que se pede: encontrar u(x,y) para x>0,\;y>0. A estratégia a seguir será usar transformadas de Fourier (mais precisamente transformadas seno sobre semi-eixos), resolvendo os problemas com cada condição de borda separadamente e somando (linearidade da equação de Laplace).]
Passo 2
Linearidade: escrevemos a solução como soma de duas soluções que tratam separadamente cada condição não nula:
u(x,y)=u_1(x,y)+u_2(x,y),
onde
u_1 resolve Laplace em x>0,y>0 com u_1(0,y)=f(y)=40\chi_{(0,1)}(y) e u_1(x,0)=0;
u_2 resolve Laplace com u_2(0,y)=0 e u_2(x,0)=g(x)=80\chi_{(0,1)}(x).
Essa decomposição é útil porque em cada subproblema há uma borda nula, o que permite usar a transformada seno em relação à variável cuja borda é nula.
Passo 3
Resolver u_1 (bordo inferior nulo). Defina a transformada seno em y (variável no semi-eixo y\ge0):
Observação sobre ramos: aqui x>0 e y>0, a função \arctan está no ramo principal, e a fórmula vale também quando y-1 é negativo (o valor de \arctan((y-1)/x) será negativo conforme esperado).
Passo 5
Resolver u_2 (bordo lateral nulo). Pela simetria do procedimento, aplicamos transformada seno em x:
Essa fórmula foi obtida aplicando transformadas seno, invertendo e avaliando as integrais elementares do tipo \int_{0}^{\infty}e^{-a k}\sin(bk)/k\,dk=\arctan(b/a).]