Use a Regra de L’Hospital para calcular os valores dos seguintes limites:
lim x +infty x-raizx^2-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(x-raizx^2 - xr)
usando a Regra de L’Hospital. O tipo de forma é infty - infty, que não é diretamente aplicável em L’Hospital, então precisamos primeiro reescrever de modo a obter uma forma tfracinftyinfty (ou 0/0).

Passo 2

Para eliminar a diferença de termos infinitos, racionalizamos multiplicando e dividindo pelo conjugado:
x-raizx^2 - x =l(x-raizx^2 - xr),l(x+raizx^2 - xr) x+raizx^2 - x =x^2 - l(x^2 - xr),x+raizx^2 - x, =x,x+raizx^2 - x,
Definimos, então,
f(x)=x,x+raizx^2 - x,,
que é da forma tfracinftyinfty quando xto+infty.

Passo 3

Como f(x) está em tfracinftyinfty, aplicamos a Regra de L’Hospital:
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyx,x+raizx^2 - x, =limxto+inftydfracddxl[xr]dfracddxl[x+raizx^2 - xr]

Passo 4

Calculamos as derivadas:
ddx[x]=1, ddxl[x+raizx^2-xr] =1+12raizx^2-xcdot(2x-1)
Logo o limite vira
limxto+infty 1,1 + 2x-12raizx^2-x,

Passo 5

Para avaliar
limxto+infty 11 + 2x-12raizx^2-x,
note que raizx^2-x=xraiz1-tfrac1xsim x quando xtoinfty. Então
2x-12raizx^2-x sim2x2x=1,
e o denominador tende a 1+1=2. Portanto o limite é
12

Resposta

limxto+inftyl(x-raizx^2 - xr)=12

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