Use a Regra de L’Hospital para calcular os valores dos seguintes limites:
lim x +infty(2 x-32 x+5)^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
L = limx to +infty(2x - 32x + 5)^2x+1
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolve indeterminação do tipo 1^infty, então vamos transformar essa forma usando logaritmo e depois aplicar L’Hospital.

Passo 2

Escrevemos
L = expl(limxto+infty(2x+1)lnl(tfrac2x-32x+5r)r)
Assim, basta calcular
ell = limxto+infty(2x+1)lnl(tfrac2x-32x+5r),
pois L = e^ell.

Passo 3

Note que para xto+infty temos lnl(tfrac2x-32x+5r)to0 e 2x+1to+infty, ou seja, indeterminação inftycdot0. Reescrevemos o produto como quociente:
ell = limxto+inftylnl(tfrac2x-32x+5r)tfrac12x+1
Agora é uma indeterminação do tipo tfrac00.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
ddxln(tfrac2x-32x+5) =22x-3-22x+5 =16(2x-3)(2x+5)
Derivada do denominador:
ddx(tfrac12x+1) =-2(2x+1)^2

Passo 5

Pelo L’Hospital,
ell =limxto+inftytfrac16(2x-3)(2x+5)-tfrac2(2x+1)^2 =-8;limxto+infty(2x+1)^2(2x-3)(2x+5) =-8
Logo ell=-8.

Passo 6

Retornando à expressão de L,
L = e^ell = e^-8

Resposta

e^-8

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