Esboce o gráfico da função e determine o conjunto ;
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)=3-tfracx2,&x<=2,2x-5,&x>2,
pede para esboçar o gráfico e determinar o conjunto imagem Im(f). Vamos usar análise de retas e extremos de cada ramo.
Passo 2
Para x<=2 temos a reta
f(x)=3-tfracx2,
de declive -tfrac12 e intercepto em y=3. Quando xto-infty, f(x)to+infty. Em x=2,
f(2)=3-tfrac22=2,
logo o ponto (2,2) pertence ao gráfico desse ramo. Assim o ramo varia de +infty (para xto-infty) até o valor 2 em x=2.
Passo 3
Para x>2 temos a reta
f(x)=2x-5,
de declive 2 e intercepto em -5. Quando xto2^+, f(x)to2cdot2-5=-1, mas o ponto (2,-1) está excluído (aberto). Quando xto+infty, f(x)to+infty. Logo esse ramo varia de valores imediatamente acima de -1 até +infty.
Passo 4
Esboço do gráfico no plano (x,y):
– Ramo 1: reta decrescente chegando em ponto fechado (2,2) e subindo indefinidamente para xto-infty.
– Ramo 2: reta crescente partindo de ponto aberto (2,-1) e subindo indefinidamente para xto+infty.