Use a regra do produto e do quociente para calcular a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função está escrita como o produto de duas expressões:
e
. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Apresento a regra do produto (a ferramenta principal aqui). Se temos duas funções
e
, então a derivada do produto é
Significado:
é a derivada de
e
é a derivada de
. O produto se deriva somando “derivar a primeira mantendo a segunda” com “manter a primeira e derivar a segunda”. É isso que vamos aplicar.
Passo 3
Identifico as duas partes do produto:
Agora calculo as derivadas de cada uma:
- Derivada de
: a derivada de é e a de é , portanto
- Derivada de
: a derivada de usa a regra da potência ( ), então . A derivada de é . Portanto
Passo 4
Aplico a regra do produto:
Substituindo
que já calculei:
Passo 5
Faço a expansão e simplificação passo a passo.
Multiplicando o primeiro produto:
Multiplicando o segundo produto:
Somando as duas partes:
Agrupando termos semelhantes:
Posso também fatorar
dos termos que o contêm para ficar mais compacto:
Ambas as expressões acima são equivalentes e corretas; a última mostra claramente os termos que têm fator
.