Use a regra do produto e do quociente para calcular a derivada.
f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(3 z^{2}+e^{z}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(3 z^{2}+e^{z}\right)
Informações dadas: a função está escrita como o produto de duas expressões: 1-e^{z} e 3 z^{2}+e^{z}. A tarefa é encontrar f'(z), a derivada de f em relação a z.

Passo 2

Apresento a regra do produto (a ferramenta principal aqui). Se temos duas funções u(z) e v(z), então a derivada do produto é
\frac{d}{dz}\big(u(z)\,v(z)\big)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
Significado: u'(z) é a derivada de u e v'(z) é a derivada de v. O produto se deriva somando “derivar a primeira mantendo a segunda” com “manter a primeira e derivar a segunda”. É isso que vamos aplicar.

Passo 3

Identifico as duas partes do produto:
u(z)=1-e^{z},\qquad v(z)=3 z^{2}+e^{z}.
Agora calculo as derivadas de cada uma:
  • Derivada de u: a derivada de 1 é 0 e a de e^{z} é e^{z}, portanto
u'(z)= -e^{z}.
  • Derivada de v: a derivada de 3 z^{2} usa a regra da potência ( \frac{d}{dz}z^{n}=n z^{n-1}), então \frac{d}{dz}3 z^{2}=3\cdot 2 z=6 z. A derivada de e^{z} é e^{z}. Portanto
v'(z)=6 z + e^{z}.

Passo 4

Aplico a regra do produto:
f'(z)=u'(z)\,v(z)+u(z)\,v'(z).
Substituindo u,u',v,v' que já calculei:
f'(z)=\big(-e^{z}\big)\big(3 z^{2}+e^{z}\big)+\big(1-e^{z}\big)\big(6 z + e^{z}\big).

Passo 5

Faço a expansão e simplificação passo a passo.
Multiplicando o primeiro produto:
\big(-e^{z}\big)\big(3 z^{2}+e^{z}\big) = -3 z^{2} e^{z} - e^{2z}.
Multiplicando o segundo produto:
\big(1-e^{z}\big)\big(6 z + e^{z}\big) = 6 z + e^{z} - 6 z e^{z} - e^{2z}.
Somando as duas partes:
f'(z)=\big(-3 z^{2} e^{z} - e^{2z}\big) + \big(6 z + e^{z} - 6 z e^{z} - e^{2z}\big).
Agrupando termos semelhantes:
f'(z)=6 z + e^{z} -6 z e^{z} -3 z^{2} e^{z} -2 e^{2z}.
Posso também fatorar e^{z} dos termos que o contêm para ficar mais compacto:
f'(z)=6 z + e^{z}\big(1 -6 z -3 z^{2} -2 e^{z}\big).
Ambas as expressões acima são equivalentes e corretas; a última mostra claramente os termos que têm fator e^{z}.

Resposta

f'(z)=6 z + e^{z} -6 z e^{z} -3 z^{2} e^{z} -2 e^{2z}

Exercícios relacionados