Exercício 7: Calcule as derivadas.
h(x)=\log _{3} x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \,h(x)=\log_{3}x\,.
Informações relevantes dadas: a função está definida para x>0 (pois logaritmo exige argumento positivo). O objetivo é encontrar h'(x), a taxa de variação de h em relação a x.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de mudança de base dos logaritmos para escrever \log_{3}x em função do logaritmo natural (mais fácil de derivar). A fórmula geral é:
\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}.
Justificativa rápida: se \,y=\log_{a}b então a^{y}=b. Tomando ln em ambos os lados dá y\ln a=\ln b, logo y=\dfrac{\ln b}{\ln a}. Aplicando ao nosso caso:
\log_{3}x=\frac{\ln x}{\ln 3}.

Passo 3

Agora observe que \ln 3 é uma constante (número). Então podemos escrever
h(x)=\frac{1}{\ln 3}\,\ln x.
Isso é um produto de uma constante por \ln x. Para derivar precisamos saber a derivada de \ln x. Vou provar de forma curta por que \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}:
Prova: seja \,y=\ln x. Então x=e^{y}. Diferenciando ambos os lados em relação a x (diferença implícita):
\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}e^{y}\quad\Rightarrow\quad 1=e^{y}\frac{dy}{dx}.
Como e^{y}=x, temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}. Ou seja,
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad\text{para }x>0.

Passo 4

Voltando a h(x): como \dfrac{1}{\ln 3} é constante, aplicamos a regra da constante multiplicativa:
h'(x)=\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{x}.
Portanto
h'(x)=\frac{1}{x\ln 3},\qquad x>0.

Passo 5

(Para fixar bem: alternativa por diferenciação implícita) Seja \,y=\log_{3}x. Então 3^{y}=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}3^{y}=\frac{d}{dx}x \quad\Rightarrow\quad 3^{y}\ln 3\cdot\frac{dy}{dx}=1.
Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3^{y}\ln 3}=\frac{1}{x\ln 3},
pois 3^{y}=x. Resultado igual ao anterior, confirmado.

Passo 6

Resumo final e dica para prova: sempre que aparecer \log_{a}x você pode transformar em \dfrac{\ln x}{\ln a} e usar que \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}. Isso é rápido e evita erros. Tá indo bem — respira e confia que você consegue aplicar esse padrão pra qualquer base!

Resposta

\displaystyle h'(x)=\frac{1}{x\ln 3}

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