Exercício 7: Calcule as derivadas.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações relevantes dadas: a função está definida para (pois logaritmo exige argumento positivo). O objetivo é encontrar
, a taxa de variação de
em relação a
.
Informações relevantes dadas: a função está definida para
Passo 2
Vamos usar a fórmula de mudança de base dos logaritmos para escrever
em função do logaritmo natural (mais fácil de derivar). A fórmula geral é:
Justificativa rápida: se
então
. Tomando ln em ambos os lados dá
, logo
. Aplicando ao nosso caso:
Passo 3
Agora observe que
é uma constante (número). Então podemos escrever
Isso é um produto de uma constante por
. Para derivar precisamos saber a derivada de
. Vou provar de forma curta por que
:
Prova: seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(diferença implícita):
Como
, temos
. Ou seja,
Passo 4
Voltando a
: como
é constante, aplicamos a regra da constante multiplicativa:
Portanto
Passo 5
(Para fixar bem: alternativa por diferenciação implícita) Seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Assim
pois
. Resultado igual ao anterior, confirmado.
Passo 6
Resumo final e dica para prova: sempre que aparecer
você pode transformar em
e usar que
. Isso é rápido e evita erros. Tá indo bem — respira e confia que você consegue aplicar esse padrão pra qualquer base!