Use a regra da substituição para calcular as integrais a seguir.
integral-pi / 2^0(2+tan t2) sec ^2 t2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
u=g(t)
usando a regra de substituição, que consiste em trocar parte da expressão por du=g'(t),dt e usar .

Passo 2

Vamos definir a substituição
u = tanl(tfrac t2r)
Derivando ambos os lados em relação a t, temos
du = tfrac12sec^2l(tfrac t2r),dt
ou seja
sec^2l(tfrac t2r),dt = 2,du

Passo 3

Agora atualizamos os limites de integração:
Quando t=-pi/2, temos u=tan(-pi/4)=-1.
Quando t=0, temos u=tan(0)=0.

Passo 4

Fazendo a troca na integral, obtemos
integral-pi/2^0l(2+tan(tfrac t2)r)sec^2l(tfrac t2r),dt = integral-1^0(2+u)cdot2,du = 2integral-1^0(2+u),du

Passo 5

Agora integramos em u:
integral(2+u),du = 2u + tfracu^22
Multiplicando por 2, a primitiva fica
4u + u^2

Passo 6

Aplicando os limites de -1 a 0:
l[4u + u^2r]-1^0 = (4cdot0 + 0^2) - l(4cdot(-1) + (-1)^2r) = 0 -(-4+1) = 3

Resposta

3

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