Qual o valor da expressão raizcosec^2(pi x)+cotg(pi x2)+x em que x é a solução da equação trigonométrica arctan x+arctg(xx+1)=pi4, definida no conjunto R--1 ?

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de raizcsc^2(pi x) + cotl(tfracpi x2r) + x, onde x é a solução da equação arctan x + arctanl(tfracxx+1r) = tfracpi4, em R--1. O conteúdo envolve funções trigonométricas inversas, a fórmula de soma de arctangentes e as definições de csc e cot para ângulos notáveis.

Passo 2

Para resolver arctan x + arctanl(tfracxx+1r) = tfracpi4 podemos usar a identidade de soma de tangentes invertida: se a=arctan u e b=arctan v, então a+b=arctanl(tfracu+v1-uvr) (ajustando o quadrante). Aqui temos u=x e v=tfracxx+1, então
tanl(arctan x + arctantfracxx+1r)=x + tfracxx+11 - xcdot tfracxx+1=1,
em que o lado direito vale 1 pois tan(pi/4)=1. Simplificando o numerador e denominador:
x(x+2)1 + x - x^2=1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 1 + x - x^2 chegamos à equação quadrática
x(x+2)=1 + x - x^2 Longrightarrow 2x^2 + x -1=0

Passo 4

Resolvendo 2x^2 + x -1=0 pelo discriminante De, obtemos
x=-1pm34 Rightarrow x=tfrac12 ou x=-1

Passo 5

Como x=-1 está excluído do domínio, ficamos com x=tfrac12.

Passo 6

Agora substituímos x=tfrac12 na expressão:
csc^2l(picdottfrac12r)=l(tfrac1sin(pi/2)r)^2=1,
cotl(tfracpi4r)=1,
e ainda x=tfrac12. Somando
1 + 1 + tfrac12 = tfrac52,

Passo 7

portanto o valor da raiz é
raiztfrac52

Resposta

raiztfrac52

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