Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções abaixo:
f(x)=alpha^x log (1x^alpha)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=alpha^xlogl(1/x^alphar). Vamos precisar usar regras de derivação de exponencial a^x, de logaritmo e a regra do produto.

Passo 2

Note que podemos simplificar o argumento do logaritmo:
logl(1/x^alphar)=log(1)-logl(x^alphar)=0-alphalog x=-alphalog x
Logo a função fica
f(x)=alpha^xl(-alphalog xr)=-alpha,alpha^xlog x

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x)v(x), onde
u(x)=alpha^x, v(x)=-alphalog x
Derivando cada parte:
u'(x)=alpha^xlnalpha, v'(x)=-alphacdot1x=-alphax
Pela regra do produto f'=u'v+uv', temos:
f'(x)=l(alpha^xlnalphar)l(-alphalog xr)+l(alpha^xr)l(-tfracalphaxr)

Passo 4

Basta agora simplificar o resultado.

Resposta

f'(x)=-alpha^x+1l(lnalpha,log x+tfrac1xr)

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