Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções abaixo:
f(x)=(raiz[3]x+raiz[5]x^3)(raiz[5]x+raiz[3]x^5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=l(raiz[3]x+raiz[5]x^3r)l(raiz[5]x+raiz[3]x^5r)
Esse problema envolve regras de derivação: transformar radicais em potências, usar a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro reescrevemos os radicais como potências fracionárias:
raiz[3]x=x^1/3, raiz[5]x^3=x^3/5, raiz[5]x=x^1/5, raiz[3]x^5=x^5/3
Então
f(x)=(x^1/3+x^3/5)(x^1/5+x^5/3)

Passo 3

Para aplicar a regra do produto, definimos
$$u(x)=x{1/3}+x{3/5},\quad v(x)=x{1/5}+x{5/3}.
u(x)=x^1/3+x^3/5, v(x)=x^1/5+x^5/3 f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).$$

Passo 4

Agora derivamos u(x):
  • ddxx^1/3=(1/3)x^1/3-1=(1/3)x^-2/3,
  • ddxx^3/5=(3/5)x^3/5-1=(3/5)x^-2/5
    Logo
u'(x)=tfrac13x^-2/3+tfrac35x^-2/5

Passo 5

Agora derivamos v(x):
  • ddxx^1/5=(1/5)x^1/5-1=(1/5)x^-4/5,
  • ddxx^5/3=(5/3)x^5/3-1=(5/3)x^2/3
    Logo
v'(x)=tfrac15x^-4/5+tfrac53x^2/3

Passo 6

Substituindo na regra do produto:
f'(x)=l(tfrac13x^-2/3+tfrac35x^-2/5r)(x^1/5+x^5/3) + (x^1/3+x^3/5)l(tfrac15x^-4/5+tfrac53x^2/3r)
Essa expressão é o resultado da derivada, que podemos deixar nessa forma ou expandir/simplificar conforme a necessidade.

Resposta

f'(x)=l(tfrac13x^-2/3+tfrac35x^-2/5r)(x^1/5+x^5/3)+(x^1/3+x^3/5)l(tfrac15x^-4/5+tfrac53x^2/3r)

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