Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções y=f(x) dadas abaixo
y=e^x^xe^e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = e^x^xe^e^x, envolvendo derivadas de funções compostas e uso da regra do quociente. Vamos precisar da regra do quociente, da regra da cadeia e da derivada de x^x.

Passo 2

Para simplificar, reescrevemos a função em forma de exponencial única:
y = e^x^xe^e^x = e^x^x - e^x

Passo 3

Chamando o expoente de g(x) = x^x - e^x, calculamos sua derivada. Usamos a identidade x^x = e^x,ln x, portanto:
ddx(x^x) = x^x(ln x + 1),
e
ddx(e^x) = e^x
Logo,
g'(x) = x^x(ln x + 1) - e^x

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia na forma exponencial. Se y = e^g(x), então
y' = g'(x),e^g(x)

Passo 5

Substituindo g'(x) e e^g(x) de volta, obtemos:
y' = e^x^x - e^xl(x^x(ln x + 1) - e^xr)

Resposta

y' = e^x^xe^e^xl(x^x(ln x + 1) - e^xr).

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